Ən kiçik orta xətti necə tapmaq olar. Üçbucağın orta xəttini necə tapmaq olar? Əsas xüsusiyyətlər, təriflər və üsullar

\[(\Böyük(\mətn(Üçbucaqların oxşarlığı)))\]

Təriflər

Bucaqları müvafiq olaraq bərabərdirsə və bir üçbucağın tərəfləri digərinin oxşar tərəflərinə mütənasibdirsə, iki üçbucaq oxşar adlanır.
(tərəflər bərabər açılar qarşısında yerləşirsə, oxşar adlanır).

(oxşar) üçbucaqların oxşarlıq əmsalı bu üçbucaqların oxşar tərəflərinin nisbətinə bərabər ədəddir.

Tərif

Üçbucağın perimetri onun bütün tərəflərinin uzunluqlarının cəmidir.

Teorem

İki oxşar üçbucağın perimetrlərinin nisbəti oxşarlıq əmsalına bərabərdir.

Sübut

Tərəfləri müvafiq olaraq \(a,b,c\) və \(a_1, b_1, c_1\) olan \(ABC\) və \(A_1B_1C_1\) üçbucaqlarını nəzərdən keçirək (yuxarıdakı şəklə bax).

Sonra \(P_(ABC)=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot P_(A_1B_1C_1)\)

Teorem

İki oxşar üçbucağın sahələrinin nisbəti oxşarlıq əmsalının kvadratına bərabərdir.

Sübut

\(ABC\) və \(A_1B_1C_1\) üçbucaqları oxşar olsun və \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1) = k\). Bu üçbucaqların sahələrini müvafiq olaraq \(S\) və \(S_1\) hərfləri ilə qeyd edək.

\(\bucaq A = \bucaq A_1\) olduğundan, onda \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)(bərabər bucaqlı üçbucaqların sahələrinin nisbəti haqqında teoremlə).

Çünki \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = k\), Bu \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\cdot\dfrac(AC)(A_1C_1) = k\cdot k = k^2\) sübut edilməli olan şey idi.

\[(\Böyük(\mətn(Üçbucaqların oxşarlıq əlamətləri)))\]

Teorem (üçbucaqların oxşarlığının ilk əlaməti)

Bir üçbucağın iki bucağı müvafiq olaraq digər üçbucağın iki bucağına bərabərdirsə, belə üçbucaqlar oxşardır.

Sübut

\(ABC\) və \(A_1B_1C_1\) elə üçbucaq olsun ki, \(\bucaq A = \bucaq A_1\) , \(\bucaq B = \bucaq B_1\) . Sonra üçbucağın bucaqlarının cəminə dair teoremlə \(\bucaq C = 180^\circ - \bucaq A - \bucaq B = 180^\circ - \bucaq A_1 - \bucaq B_1 = \bucaq C_1\), yəni \(ABC\) üçbucağının bucaqları müvafiq olaraq üçbucağın bucaqlarına bərabərdir \(A_1B_1C_1\) .

\(\bucaq A = \bucaq A_1\) və \(\bucaq B = \bucaq B_1\) olduğundan, onda \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\) Və \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot BC)(A_1B_1\cdot B_1C_1)\).

Bu bərabərliklərdən belə çıxır ki \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1)\).

Eynilə, sübut edilmişdir \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\)(bərabərliklərdən istifadə edərək \(\bucaq B = \bucaq B_1\) , \(\bucaq C = \bucaq C_1\) ).

Nəticədə, \(ABC\) üçbucağının tərəfləri \(A_1B_1C_1\) üçbucağın oxşar tərəfləri ilə mütənasibdir, bunun sübuta yetirilməsi lazım idi.

Teorem (üçbucaqların oxşarlığının ikinci meyarı)

Bir üçbucağın iki tərəfi digər üçbucağın iki tərəfi ilə mütənasibdirsə və bu tərəflər arasındakı bucaqlar bərabərdirsə, üçbucaqlar oxşardır.

Sübut

\(ABC\) və \(A"B"C"\) iki üçbucağını nəzərdən keçirək \(\dfrac(AB)(A"B")=\dfrac(AC)(A"C")\), \(\bucaq BAC = \bucaq A"\) \(ABC\) və \(A"B"C"\) üçbucaqlarının oxşar olduğunu sübut edək. Üçbucaqların oxşarlığının ilk əlamətini nəzərə alaraq, \(\bucaq B = \bucaq B"\) olduğunu göstərmək kifayətdir.

\(\bucaq 1 = \bucaq A"\) , \(\bucaq 2 = \bucaq B"\) olan \(ABC""\) üçbucağı nəzərdən keçirək. \(ABC""\) və \(A"B"C"\) üçbucaqları üçbucaqların oxşarlığının birinci meyarına görə oxşardır, sonra \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC"")(A"C")\).

Digər tərəfdən, şərtlə \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C")\). Son iki bərabərlikdən belə çıxır ki, \(AC = AC""\) .

\(ABC\) və \(ABC""\) üçbucaqları iki tərəfdə və aralarındakı bucaqda bərabərdir, buna görə də, \(\bucaq B = \bucaq 2 = \bucaq B"\).

Teorem (üçbucaqların oxşarlığının üçüncü əlaməti)

Bir üçbucağın üç tərəfi digər üçbucağın üç tərəfi ilə mütənasibdirsə, üçbucaqlar oxşardır.

Sübut

\(ABC\) və \(A"B"C"\) üçbucaqlarının tərəfləri mütənasib olsun: \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\). \(ABC\) və \(A"B"C"\) üçbucaqlarının oxşar olduğunu sübut edək.

Bunun üçün üçbucaqların oxşarlığının ikinci meyarını nəzərə alaraq, \(\bucaq BAC = \bucaq A"\) olduğunu sübut etmək kifayətdir.

\(\bucaq 1 = \bucaq A"\) , \(\bucaq 2 = \bucaq B"\) olan \(ABC""\) üçbucağı nəzərdən keçirək.

\(ABC""\) və \(A"B"C"\) üçbucaqları üçbucaqların oxşarlığının birinci meyarına görə oxşardır, buna görə də, \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(BC"")(B"C") = \dfrac(C""A)(C"A")\).

Bərabərlik və şərtlərin sonuncu zəncirindən \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\) buradan belə nəticə çıxır ki, \(BC = BC""\) , \(CA = C""A\) .

\(ABC\) və \(ABC""\) üçbucaqları üç tərəfdən bərabərdir, buna görə də, \(\bucaq BAC = \bucaq 1 = \bucaq A"\).

\[(\Böyük(\mətn(Tales teoremi)))\]

Teorem

Bucağın bir tərəfində bərabər seqmentləri qeyd etsəniz və onların uclarından paralel düz xətlər çəksəniz, bu düz xətlər digər tərəfdən də bərabər seqmentləri kəsəcək.

Sübut

Əvvəlcə sübut edək lemma:Əgər \(\üçbucaq OBB_1\) \(OB\) tərəfinin ortasından \(A\) keçərək \(a\paralel BB_1\) düz xətt çəkilirsə, o zaman \(OB_1\) tərəfi ilə də kəsişir. orta.

\(B_1\) nöqtəsi vasitəsilə \(l\paralel OB\) çəkirik. Qoy \(l\cap a=K\) . Onda \(ABB_1K\) paraleloqramdır, ona görə də \(B_1K=AB=OA\) və \(\bucaq A_1KB_1=\bucaq ABB_1=\bucaq OAA_1\); \(\bucaq AA_1O=\bucaq KA_1B_1\)şaquli kimi. Beləliklə, ikinci əlamətə görə \(\üçbucaq OAA_1=\üçbucaq B_1KA_1 \Sağ ox OA_1=A_1B_1\). Lemma sübut edilmişdir.

Gəlin teoremin isbatına keçək. Qoy \(OA=AB=BC\) , \(a\paralel b\paralel c\) və sübut etməliyik ki, \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\) .

Beləliklə, bu lemmaya görə \(OA_1=A_1B_1\) . Gəlin sübut edək ki, \(A_1B_1=B_1C_1\) . \(B_1\) nöqtəsindən \(d\paralel OC\) xətti çəkək və \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\) edək. Onda \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) paraleloqramdır, buna görə də \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\) . Beləliklə, \(\bucaq A_1B_1D_1=\bucaq C_1B_1D_2\)şaquli kimi \(\bucaq A_1D_1B_1=\bucaq C_1D_2B_1\) xaç kimi yalan danışır və buna görə də ikinci əlamətə görə \(\üçbucaq A_1B_1D_1=\üçbucaq C_1B_1D_2 \Sağ ox A_1B_1=B_1C_1\).

Thales teoremi

Paralel xətlər bucağın tərəflərindəki mütənasib seqmentləri kəsir.

Sübut

Paralel xətlər olsun \(p\paralel q\paralel r\paralel s\) sətirlərdən birini seqmentlərə ayırdı \(a, b, c, d\) . Sonra ikinci düz xətt müvafiq olaraq \(ka, kb, kc, kd\) seqmentlərinə bölünməlidir, burada \(k\) müəyyən bir ədəddir, seqmentlərin eyni mütənasiblik əmsalıdır.

\(A_1\) nöqtəsindən \(p\paralel OD\) xətti çəkək (\(ABB_2A_1\) paraleloqramdır, ona görə də \(AB=A_1B_2\) ). Sonra \(\üçbucaq OAA_1 \sim \üçbucaq A_1B_1B_2\) iki küncdə. Beləliklə, \(\dfrac(OA)(A_1B_2)=\dfrac(OA_1)(A_1B_1) \Sağ ox A_1B_1=kb\).

Eynilə, \(B_1\) vasitəsilə düz xətt çəkirik. \(q\paralel OD \Sağ ox \üçbucaq OBB_1\sim \üçbucaq B_1C_1C_2 \Sağ ox B_1C_1=kc\) və s.

\[(\Böyük(\mətn(Üçbucağın orta xətti)))\]

Tərif

Üçbucağın orta xətti üçbucağın hər iki tərəfinin orta nöqtələrini birləşdirən seqmentdir.

Teorem

Üçbucağın orta xətti üçüncü tərəfə paraleldir və onun yarısına bərabərdir.

Sübut

1) Orta xəttin bazaya paralelliyi yuxarıda sübut ediləndən irəli gəlir lemmalar.

2) Sübut edək ki, \(MN=\dfrac12 AC\) .

\(N\) nöqtəsi vasitəsilə \(AB\) -ə paralel bir xətt çəkirik. Bu xətt \(AC\) tərəfini \(K\) nöqtəsində kəssin. Onda \(AMNK\) paraleloqramdır ( \(AM\paralel NK, MN\paralel AK\)əvvəlki bəndə görə). Beləliklə, \(MN=AK\) .

Çünki \(NK\paralel AB\) və \(N\) \(BC\) orta nöqtəsidir, onda Thales teoreminə görə \(K\) \(AC\) -nin orta nöqtəsidir. Buna görə də, \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\) .

Nəticə

Üçbucağın orta xətti ondan \(\frac12\) əmsalı ilə verilənə bənzər üçbucağı kəsir.

Yalnız iki tərəfi paralel olan dördbucaqlı adlanır trapesiya.

Trapezoidin paralel tərəfləri onun adlanır səbəblər, və paralel olmayan tərəflər deyilir tərəflər. Tərəflər bərabərdirsə, belə bir trapezoid isosceles olur. Əsaslar arasındakı məsafəyə trapezoidin hündürlüyü deyilir.

Orta xətt trapesiya

Orta xətt trapezoidin yan tərəflərinin orta nöqtələrini birləşdirən seqmentdir. Trapezoidin orta xətti onun əsaslarına paraleldir.

Teorem:

Bir tərəfin ortasını kəsən düz xətt trapezoidin əsaslarına paraleldirsə, o zaman trapezoidin ikinci tərəfini ikiyə bölür.

Teorem:

Orta xəttin uzunluğu onun əsaslarının uzunluqlarının arifmetik ortasına bərabərdir

MN orta xətti, AB və CD - əsaslar, AD və BC - yan tərəflər

MN = (AB + DC)/2

Teorem:

Trapezoidin orta xəttinin uzunluğu onun əsaslarının uzunluqlarının arifmetik ortasına bərabərdir.

Əsas vəzifə: Sübut edin ki, trapezoidin orta xətti ucları trapezoidin əsaslarının ortasında yerləşən seqmenti ikiyə bölür.

Üçbucağın orta xətti

Üçbucağın iki tərəfinin orta nöqtələrini birləşdirən seqmentə üçbucağın orta xətti deyilir. Üçüncü tərəfə paraleldir və uzunluğu üçüncü tərəfin uzunluğunun yarısına bərabərdir.
Teorem: Üçbucağın bir tərəfinin orta nöqtəsini kəsən xətt üçbucağın digər tərəfinə paraleldirsə, onda üçüncü tərəfi ikiyə bölər.

AM = MC və BN = NC =>

Üçbucağın və trapezoidin orta xətt xüsusiyyətlərinin tətbiqi

Bir seqmentin müəyyən sayda bərabər hissələrə bölünməsi.
Tapşırıq: AB seqmentini 5 bərabər hissəyə bölün.
Həlli:
Mənşəyi A nöqtəsi olan və AB xəttində olmayan təsadüfi şüa p olsun. Biz ardıcıl olaraq p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​A 5 üzərində 5 bərabər seqment ayırırıq.
A 5-i B ilə birləşdiririk və A 5 B-yə paralel olan A 4, A 3, A 2 və A 1 vasitəsilə belə xətlər çəkirik. Onlar müvafiq olaraq B 4, B 3, B 2 və B 1 nöqtələrində AB ilə kəsişirlər. Bu nöqtələr AB seqmentini 5 bərabər hissəyə bölür. Həqiqətən də BB 3 A 3 A 5 trapesiyasından BB 4 = B 4 B 3 olduğunu görürük. Eyni şəkildə B 4 B 2 A 2 A 4 trapesiyasından B 4 B 3 = B 3 B 2 alırıq.

Trapesiyadan B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1 olarkən.
Onda B 2 AA 2-dən belə çıxır ki, B 2 B 1 = B 1 A. Nəticə olaraq alırıq:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Aydındır ki, AB seqmentini başqa sayda bərabər hissələrə bölmək üçün eyni sayda bərabər seqmentləri p şüasına proyeksiya etməliyik. Və sonra yuxarıda təsvir olunan şəkildə davam edin.

"A alın" video kursu 60-65 balla riyaziyyat üzrə Vahid Dövlət İmtahanını uğurla vermək üçün lazım olan bütün mövzuları əhatə edir. Riyaziyyatdan Profil Vahid Dövlət İmtahanının 1-13-cü tapşırıqlarını tamamlayın. Riyaziyyatdan Əsas Vahid Dövlət İmtahanından keçmək üçün də uyğundur. Vahid Dövlət İmtahanından 90-100 balla keçmək istəyirsinizsə, 1-ci hissəni 30 dəqiqə ərzində və səhvsiz həll etməlisiniz!

10-11-ci siniflər, eləcə də müəllimlər üçün Vahid Dövlət İmtahanına hazırlıq kursu. Riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanının 1-ci hissəsini (ilk 12 məsələ) və 13-cü məsələni (triqonometriya) həll etmək üçün lazım olan hər şey. Və bu, Vahid Dövlət İmtahanında 70 baldan çoxdur və nə 100 ballıq tələbə, nə də humanitar fənlər tələbəsi onlarsız edə bilməz.

Bütün lazımi nəzəriyyə. Sürətli yollar Vahid Dövlət İmtahanının həlləri, tələləri və sirləri. FIPI Tapşırıq Bankından 1-ci hissənin bütün cari tapşırıqları təhlil edilmişdir. Kurs 2018-ci il Vahid Dövlət İmtahanının tələblərinə tam cavab verir.

Kurs hər biri 2,5 saat olmaqla 5 böyük mövzudan ibarətdir. Hər bir mövzu sıfırdan, sadə və aydın şəkildə verilir.

Yüzlərlə Vahid Dövlət İmtahan tapşırığı. Söz problemləri və ehtimal nəzəriyyəsi. Problemlərin həlli üçün sadə və yaddaqalan alqoritmlər. Həndəsə. Nəzəriyyə, istinad materialı, bütün növ Vahid Dövlət İmtahanı tapşırıqlarının təhlili. Stereometriya. Çətin həllər, faydalı fırıldaq vərəqləri, məkan təxəyyülünün inkişafı. Sıfırdan problemə triqonometriya 13. Sıxmaq əvəzinə başa düşmək. Mürəkkəb anlayışların aydın izahları. Cəbr. Köklər, səlahiyyətlər və loqarifmlər, funksiya və törəmə. Vahid Dövlət İmtahanının 2-ci hissəsinin mürəkkəb problemlərinin həlli üçün əsas.

Bəzən məktəbdə izah edilən mövzular ilk dəfə həmişə aydın olmaya bilər. Bu xüsusilə riyaziyyat kimi bir fənn üçün doğrudur. Ancaq bu elm iki hissəyə bölünməyə başlayanda hər şey daha mürəkkəbləşir: cəbr və həndəsə.

Hər bir tələbə iki istiqamətdən birində qabiliyyətə malik ola bilər, lakin xüsusilə ibtidai məktəb Həm cəbrin, həm də həndəsənin əsaslarını başa düşmək vacibdir. Həndəsədə əsas mövzulardan biri üçbucaqlar bölməsi hesab olunur.

Üçbucağın orta xəttini necə tapmaq olar? Gəlin bunu anlayaq.

Əsas anlayışlar

Başlamaq üçün, üçbucağın orta xəttini necə tapmaq lazım olduğunu anlamaq üçün onun nə olduğunu başa düşmək vacibdir.

Orta xəttin çəkilməsində heç bir məhdudiyyət yoxdur: üçbucaq hər hansı bir şey ola bilər (izoceles, bərabərtərəfli, düzbucaqlı). Və orta xəttə aid olan bütün xüsusiyyətlər qüvvədə olacaq.

Üçbucağın orta xətti onun 2 tərəfinin orta nöqtələrini birləşdirən seqmentdir. Buna görə də istənilən üçbucağın 3 belə xətti ola bilər.

Xüsusiyyətlər

Üçbucağın orta xəttini necə tapacağını bilmək üçün onun yadda saxlanmalı olan xassələrini təyin edək, əks halda onlarsız orta xəttin uzunluğunu təyin etmək ehtiyacı ilə bağlı problemləri həll etmək mümkün olmayacaq, çünki əldə edilən bütün məlumatlar əsaslandırılmalıdır. və teoremlər, aksiomlar və ya xassələrlə mübahisə edir.

Beləliklə, “ABC üçbucağının orta xəttini necə tapmaq olar?” sualına cavab vermək üçün üçbucağın tərəflərindən birini bilmək kifayətdir.

Bir misal verək

Şəkilə nəzər salın. Orta xətti DE olan ABC üçbucağını göstərir. Qeyd edək ki, üçbucaqda AC əsasına paraleldir. Buna görə də, AC dəyəri nə olursa olsun, orta xətt DE yarısı böyük olacaq. Məsələn, AC=20 DE=10 deməkdir və s.

Bu sadə üsullarla siz üçbucağın orta xəttini necə tapacağınızı başa düşə bilərsiniz. Onun əsas xassələrini və tərifini xatırlayın və sonra onun mənasını tapmaqda heç vaxt problem yaşamayacaqsınız.

Üçbucağın orta xətti. salam dostlar! Bu gün nəzəri material var, o, üçbucaqla bağlıdır. İmtahanda onun orta xəttinin xüsusiyyətindən istifadə edən bir qrup tapşırıq var. Həm də təkcə üçbucaqlarla bağlı problemlərdə deyil, həm də trapezoidlərlə. Sadəcə bu faktları xatırlamağı təklif etdiyim biri var idi, indi daha ətraflı...

Üçbucağın orta xətti nədir və onun xüsusiyyətləri nədir?

Tərif.Üçbucağın orta xətti üçbucağın tərəflərinin orta nöqtələrini birləşdirən seqmentdir.

Üçbucaqda üç orta xəttin olduğu aydındır. Gəlin onlara göstərək:

Heç bir sübut olmadan, yəqin ki, əmələ gələn dörd üçbucağın hamısının bərabər olduğunu görmüsünüz. Bu doğrudur, lakin bu barədə sonra daha ətraflı danışacağıq.

Teorem. Verilmiş iki tərəfin orta nöqtələrini birləşdirən üçbucağın orta xətti üçüncü tərəfə paraleldir və onun yarısına bərabərdir.

Sübut:

1. BMN və BAC üçbucaqlarına baxaq. Şərtə görə bizdə BM=MA, BN=NC var. Yaza bilərik:

Buna görə də, üçbucaqlar iki mütənasib tərəfdən və onların arasındakı bucaqda oxşardır (oxşarlığın ikinci əlaməti). Bundan nə çıxır? Və nə:

MN||AC xətlərinin paralelliyi əsasında.

2. Həmçinin üçbucaqların oxşarlığından belə nəticə çıxır ki

Yəni MN iki dəfə kiçikdir. Sübut edilmiş!

Tipik bir problemi həll edək.

ABC üçbucağında M, N, K nöqtələri AB, BC, AC tərəflərinin orta nöqtələridir. MN=12, MK=10, KN=8 olduqda ABC üçbucağının perimetrini tapın.

Həll. Əlbəttə ki, ilk növbədə MNK üçbucağının varlığını (və buna görə də ABC üçbucağının mövcudluğunu) yoxlamaq lazımdır. İki kiçik tərəfin cəmi üçüncü tərəfdən böyük olmalıdır, 10+8>12 yazın. Tamamlanacaq, buna görə də üçbucaq mövcuddur.

Bir eskiz quraq:

Beləliklə, ABC üçbucağının perimetri 24+20+16=60-dır.

*İndi hər üç orta xəttin qurulması ilə əldə edilən üçbucaqlar haqqında ətraflı məlumat. Onların bərabərliyi asanlıqla sübuta yetirilir. Baxın:

Üç tərəfdən bərabərdirlər. Təbii ki, burada başqa əlamətlər də keçərlidir. Bunu anlayırıq

İmtahana daxil olan tapşırıqlarda bu xüsusiyyət necə istifadə olunur? Mən xüsusilə stereometriya problemlərinə diqqət yetirmək istərdim. Üçbucaqlı prizmadan bəhs etdiyimiz növlər var.

Məsələn, deyilir ki, müstəvi bünövrənin kənarlarının orta nöqtələrindən keçir və o, əsasın üçüncü kənarına paraleldir. Prizmanın səthinin, həcminin və digərlərinin dəyişməsi ilə bağlı suallar yaranır.

Beləliklə, budur. Yuxarıda təqdim olunan məlumatları bilmək və başa düşmək, siz dərhal müəyyən edəcəksiniz ki, bu təyyarə göstərilən prizmanın əsasından dörddə birini kəsir və problemi şifahi şəkildə həll edir. Belə tapşırıqlarla.

Hamısı budur! Hər vaxtınız xeyir!

Məqalə materialını yükləyin

Hörmətlə, Aleksandr Krutitskix.