सर्वात लहान मिडलाइन कशी शोधावी. त्रिकोणाची मध्यरेषा कशी शोधायची? मूलभूत गुणधर्म, व्याख्या आणि पद्धती

\[(\Large(\text(त्रिकोणांची समानता))\]

व्याख्या

दोन त्रिकोण समान म्हणतात जर त्यांचे कोन अनुक्रमे समान असतील आणि एका त्रिकोणाच्या बाजू दुसऱ्याच्या समान बाजूंच्या प्रमाणात असतील.
(बाजूंना समान म्हटले जाते जर ते समान कोन विरुद्ध असतील).

(समान) त्रिकोणांच्या समानतेचा गुणांक ही या त्रिकोणांच्या समान बाजूंच्या गुणोत्तराइतकी संख्या आहे.

व्याख्या

त्रिकोणाची परिमिती ही त्याच्या सर्व बाजूंच्या लांबीची बेरीज असते.

प्रमेय

दोन समान त्रिकोणांच्या परिमितींचे गुणोत्तर समानता गुणांकाच्या समान आहे.

पुरावा

त्रिकोण \(ABC\) आणि \(A_1B_1C_1\) अनुक्रमे बाजूंसह \(a,b,c\) आणि \(a_1, b_1, c_1\) विचारात घ्या (वरील आकृती पहा).

मग \(P_(ABC)=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot P_(A_1B_1C_1)\)

प्रमेय

दोन समान त्रिकोणांच्या क्षेत्रांचे गुणोत्तर समानता गुणांकाच्या वर्गाइतके आहे.

पुरावा

त्रिकोण \(ABC\) आणि \(A_1B_1C_1\) समान असू द्या, आणि \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1) = k\). या त्रिकोणांची क्षेत्रे अनुक्रमे \(S\) आणि \(S_1\) या अक्षरांनी दर्शवू.

पासून \(\angle A = \angle A_1\), नंतर \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)(समान कोन असलेल्या त्रिकोणांच्या क्षेत्रांच्या गुणोत्तरावरील प्रमेयानुसार).

कारण \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = k\), ते \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\cdot\dfrac(AC)(A_1C_1) = k\cdot k = k^2\), जे सिद्ध करणे आवश्यक होते.

\[(\Large(\text(त्रिकोणांच्या समानतेची चिन्हे))\]

प्रमेय (त्रिकोणांच्या समानतेचे पहिले चिन्ह)

जर एका त्रिकोणाचे दोन कोन अनुक्रमे दुसऱ्या त्रिकोणाच्या दोन कोनांच्या समान असतील तर असे त्रिकोण सारखे असतात.

पुरावा

\(ABC\) आणि \(A_1B_1C_1\) त्रिकोण असू द्या जसे की \(\angle A = \angle A_1\), \(\angle B = \angle B_1\) . नंतर, त्रिकोणाच्या कोनांच्या बेरजेवर प्रमेयाद्वारे \(\कोन C = 180^\circ - \कोन A - \कोन B = 180^\circ - \कोन A_1 - \कोन B_1 = \कोन C_1\), म्हणजे, त्रिकोणाचे कोन \(ABC\) अनुक्रमे त्रिकोणाच्या कोनांच्या समान असतात \(A_1B_1C_1\) .

पासून \(\angle A = \angle A_1\) आणि \(\angle B = \angle B_1\) , नंतर \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)आणि \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot BC)(A_1B_1\cdot B_1C_1)\).

या समानतेतून ते पुढे येते \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1)\).

तसेच हे सिद्ध झाले आहे \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\)(समानता वापरून \(\angle B = \angle B_1\) , \(\angle C = \angle C_1\) ).

परिणामी, त्रिकोणाच्या बाजू \(ABC\) त्रिकोणाच्या समान बाजूंच्या प्रमाणात आहेत \(A_1B_1C_1\), जे सिद्ध करणे आवश्यक आहे.

प्रमेय (त्रिकोणांच्या समानतेचा दुसरा निकष)

जर एका त्रिकोणाच्या दोन बाजू दुस-या त्रिकोणाच्या दोन बाजूंच्या प्रमाणात असतील आणि या बाजूंमधील कोन समान असतील, तर त्रिकोण समान आहेत.

पुरावा

\(ABC\) आणि \(A"B"C"\) अशा दोन त्रिकोणांचा विचार करा \(\dfrac(AB)(A"B")=\dfrac(AC)(A"C")\), \(\angle BAC = \angle A"\) त्रिकोण \(ABC\) आणि \(A"B"C"\) समान आहेत हे सिद्ध करूया. त्रिकोणांच्या समानतेचे पहिले चिन्ह लक्षात घेऊन, हे दाखवण्यासाठी पुरेसे आहे \(\angle B = \angle B"\) .

\(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) \(ABC""\) त्रिकोणाचा विचार करा. त्रिकोणांच्या समानतेच्या पहिल्या निकषानुसार त्रिकोण \(ABC""\) आणि \(A"B"C"\) समान आहेत, नंतर \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC"")(A"C")\).

दुसरीकडे, अटीनुसार \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C")\). शेवटच्या दोन समानतेवरून ते खालीलप्रमाणे आहे \(AC = AC""\) .

त्रिकोण \(ABC\) आणि \(ABC""\) दोन बाजू आणि त्यांच्यामधील कोन समान आहेत, म्हणून, \(\कोन B = \कोन 2 = \कोन B"\).

प्रमेय (त्रिकोणांच्या समानतेचे तिसरे चिन्ह)

जर एका त्रिकोणाच्या तीन बाजू दुसऱ्या त्रिकोणाच्या तीन बाजूंच्या प्रमाणात असतील, तर त्रिकोण सारखेच असतात.

पुरावा

त्रिकोणांच्या बाजू \(ABC\) आणि \(A"B"C"\) प्रमाणित असू द्या: \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\). त्रिकोण \(ABC\) आणि \(A"B"C"\) समान आहेत हे सिद्ध करू.

हे करण्यासाठी, त्रिकोणांच्या समानतेचा दुसरा निकष लक्षात घेऊन, हे सिद्ध करण्यासाठी पुरेसे आहे की \(\angle BAC = \angle A"\) .

\(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) \(ABC""\) त्रिकोणाचा विचार करा.

त्रिकोण \(ABC""\) आणि \(A"B"C"\) त्रिकोणांच्या समानतेच्या पहिल्या निकषानुसार समान आहेत, म्हणून, \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(BC"")(B"C") = \dfrac(C""A)(C"A")\).

समानता आणि परिस्थितीच्या शेवटच्या साखळीतून \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\)ते खालीलप्रमाणे \(BC = BC""\), \(CA = C""A\) .

त्रिकोण \(ABC\) आणि \(ABC""\) तीन बाजूंनी समान आहेत, म्हणून, \(\कोन बीएसी = \कोन 1 = \कोन A"\).

\[(\Large(\text(थेल्सचे प्रमेय)))\]

प्रमेय

जर तुम्ही कोनाच्या एका बाजूला समान खंड चिन्हांकित केले आणि त्यांच्या टोकांमधून समांतर सरळ रेषा काढल्या, तर या सरळ रेषा दुसऱ्या बाजूचे समान खंड देखील कापतील.

पुरावा

आधी सिद्ध करूया लेमा:जर \(\त्रिकोण OBB_1\) मध्ये सरळ रेषा \(a\समांतर BB_1\) बाजू \(OB\) च्या मध्यभागी \(A\) काढली असेल, तर ती बाजू \(OB_1\) मध्ये देखील छेदेल. मधला

\(B_1\) बिंदूद्वारे आपण \(l\समांतर OB\) काढतो. चला \(l\cap a=K\) . नंतर \(ABB_1K\) हा समांतरभुज चौकोन आहे, म्हणून \(B_1K=AB=OA\) आणि \(\कोन A_1KB_1=\कोन ABB_1=\कोन OAA_1\); \(\कोन AA_1O=\कोन KA_1B_1\)उभ्या सारखे. तर, दुसऱ्या चिन्हानुसार \(\triangle OAA_1=\triangle B_1KA_1 \Rightarrow OA_1=A_1B_1\). लेमा सिद्ध आहे.

प्रमेयाच्या पुराव्याकडे वळू. चला \(OA=AB=BC\) , \(a\parallel b\parallel c\) आणि आपल्याला हे सिद्ध करायचे आहे की \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\) .

अशा प्रकारे, या लेमानुसार \(OA_1=A_1B_1\) . चला ते सिद्ध करूया \(A_1B_1=B_1C_1\) . चला \(d\ समांतर OC\) बिंदूमधून \(B_1\) एक रेषा काढू आणि \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\) करू. नंतर \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) समांतरभुज चौकोन आहेत, म्हणून, \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\) . अशा प्रकारे, \(\कोन A_1B_1D_1=\कोन C_1B_1D_2\)उभ्या सारखे \(\कोन A_1D_1B_1=\कोन C_1D_2B_1\)क्रॉससारखे खोटे बोलणे, आणि म्हणून, दुसऱ्या चिन्हानुसार \(\triangle A_1B_1D_1=\triangle C_1B_1D_2 \Rightarrow A_1B_1=B_1C_1\).

थेल्सचे प्रमेय

समांतर रेषा कोनाच्या बाजूंच्या आनुपातिक विभागांना कापतात.

पुरावा

समांतर रेषा द्या \(p\ समांतर q\ समांतर r\ समांतर s\)एका रेषेला \(a, b, c, d\) विभागात विभागले. नंतर दुसरी सरळ रेषा अनुक्रमे \(ka, kb, kc, kd\) खंडांमध्ये विभागली पाहिजे, जेथे \(k\) ही एक विशिष्ट संख्या आहे, खंडांचा समान आनुपातिकता गुणांक.

चला \(A_1\) एक रेषा \(p\समांतर OD\) (\(ABB_2A_1\) समांतरभुज चौकोन आहे, म्हणून \(AB=A_1B_2\) ) काढू. मग \(\triangle OAA_1 \sim \triangle A_1B_1B_2\)दोन कोपऱ्यात. त्यामुळे, \(\dfrac(OA)(A_1B_2)=\dfrac(OA_1)(A_1B_1) \Rightarrow A_1B_1=kb\).

त्याचप्रमाणे आपण \(B_1\) मधून सरळ रेषा काढतो. \(q\समांतर OD \Rightarrow \triangle OBB_1\sim \triangle B_1C_1C_2 \Rightarrow B_1C_1=kc\)इ.

\[(\Large(\text(त्रिकोणाची मधली रेषा))\]

व्याख्या

त्रिकोणाची मध्यरेषा हा त्रिकोणाच्या कोणत्याही दोन बाजूंच्या मध्यबिंदूंना जोडणारा एक खंड आहे.

प्रमेय

त्रिकोणाची मधली रेषा तिसऱ्या बाजूस समांतर आहे आणि तिच्या अर्ध्या बरोबर आहे.

पुरावा

1) मधल्या रेषेची पायाशी समांतरता वर सिद्ध केलेल्या गोष्टींवरून येते lemmas.

२) हे सिद्ध करूया की \(MN=\dfrac12 AC\) .

\(N\) बिंदूद्वारे आपण \(AB\) ला समांतर रेषा काढतो. या रेषेला बाजू \(AC\) \(K\) बिंदूवर छेदू द्या. नंतर \(AMNK\) हा समांतरभुज चौकोन आहे ( \(AM\ समांतर NK, MN\ समांतर AK\)मागील मुद्द्यानुसार). तर, \(MN=AK\) .

कारण \(NK\ समांतर AB\) आणि \(N\) हे \(BC\) चे मध्यबिंदू आहेत, नंतर थेल्सच्या प्रमेयानुसार \(K\) हा \(AC\) चा मध्यबिंदू आहे. म्हणून, \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\) .

परिणाम

त्रिकोणाची मधली रेषा त्यापासून गुणांक \(\frac12\) सह दिलेल्या त्रिकोणाप्रमाणेच एक त्रिकोण कापते.

ज्या चौकोनात फक्त दोन बाजू समांतर असतात त्याला म्हणतात ट्रॅपेझॉइड.

ट्रॅपेझॉइडच्या समांतर बाजूंना त्याचे म्हणतात कारणे, आणि ज्या बाजू समांतर नसतात त्यांना म्हणतात बाजू. जर बाजू समान असतील तर असा ट्रॅपेझॉइड समद्विभुज आहे. पायथ्यांमधील अंतराला ट्रॅपेझॉइडची उंची म्हणतात.

मध्य रेषा ट्रॅपेझॉइड

मिडलाइन हा ट्रॅपेझॉइडच्या बाजूंच्या मध्यबिंदूंना जोडणारा एक विभाग आहे. ट्रॅपेझॉइडची मध्यरेषा त्याच्या पायथ्याशी समांतर असते.

प्रमेय:

जर एका बाजूच्या मधोमध ओलांडणारी सरळ रेषा ट्रॅपेझॉइडच्या पायथ्याशी समांतर असेल, तर ती ट्रॅपेझॉइडच्या दुसऱ्या बाजूस दुभाजक करते.

प्रमेय:

मधल्या रेषेची लांबी तिच्या पायाच्या लांबीच्या अंकगणितीय सरासरीएवढी असते

MN मिडलाइन, AB आणि CD - पाया, AD आणि BC - बाजूकडील बाजू

MN = (AB + DC)/2

प्रमेय:

ट्रॅपेझॉइडच्या मध्यरेषेची लांबी त्याच्या पायाच्या लांबीच्या अंकगणितीय सरासरीएवढी असते.

मुख्य कार्य: ट्रॅपेझॉइडची मध्यरेषा एका खंडाला दुभाजक करते हे सिद्ध करा ज्याची टोके ट्रॅपेझॉइडच्या पायाच्या मध्यभागी असतात.

त्रिकोणाची मध्य रेखा

त्रिकोणाच्या दोन बाजूंच्या मध्यबिंदूंना जोडणाऱ्या खंडाला त्रिकोणाची मध्यरेषा म्हणतात. ती तिसऱ्या बाजूस समांतर आहे आणि तिची लांबी तिसऱ्या बाजूच्या अर्ध्या लांबीइतकी आहे.
प्रमेय: जर त्रिकोणाच्या एका बाजूच्या मध्यबिंदूला छेदणारी रेषा त्रिकोणाच्या दुसऱ्या बाजूस समांतर असेल तर ती तिसरी बाजू दुभाजक करते.

AM = MC आणि BN = NC =>

त्रिकोण आणि ट्रॅपेझॉइडचे मध्यरेखा गुणधर्म लागू करणे

एका विभागाला ठराविक संख्येने समान भागांमध्ये विभागणे.
कार्य: सेगमेंट AB ला 5 समान भागांमध्ये विभाजित करा.
उपाय:
p हा यादृच्छिक किरण असू द्या ज्याचा उगम बिंदू A आहे आणि जो AB सरळ रेषेवर नाही. आम्ही क्रमशः p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​A 5 वर 5 समान खंड बाजूला ठेवतो.
आपण A 5 ला B ला जोडतो आणि A 4, A 3, A 2 आणि A 1 द्वारे अशा रेषा काढतो ज्या A 5 B ला समांतर असतात. त्या AB ला अनुक्रमे B 4, B 3, B 2 आणि B 1 या बिंदूंना छेदतात. हे बिंदू AB खंडाला 5 समान भागांमध्ये विभाजित करतात. खरंच, ट्रॅपेझॉइड BB 3 A 3 A 5 वरून आपण BB 4 = B 4 B 3 पाहतो. त्याच प्रकारे, ट्रॅपेझॉइड B 4 B 2 A 2 A 4 मधून आपल्याला B 4 B 3 = B 3 B 2 मिळते.

ट्रॅपेझॉइड B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1 पासून.
मग B 2 AA 2 वरून ते B 2 B 1 = B 1 A. निष्कर्षानुसार आपल्याला मिळते:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
हे स्पष्ट आहे की सेगमेंट AB ला दुसऱ्या समान भागांच्या संख्येत विभागण्यासाठी, आपल्याला समान संख्येच्या समान खंडांना p किरणांवर प्रक्षेपित करणे आवश्यक आहे. आणि नंतर वर वर्णन केलेल्या पद्धतीने सुरू ठेवा.

"A मिळवा" या व्हिडिओ कोर्समध्ये गणितातील युनिफाइड स्टेट परीक्षा 60-65 गुणांसह यशस्वीरीत्या उत्तीर्ण होण्यासाठी आवश्यक असलेले सर्व विषय समाविष्ट आहेत. गणितातील प्रोफाइल युनिफाइड स्टेट परीक्षेची पूर्णपणे सर्व कार्ये 1-13. गणितातील मूलभूत युनिफाइड स्टेट परीक्षा उत्तीर्ण होण्यासाठी देखील योग्य. जर तुम्हाला युनिफाइड स्टेट परीक्षा 90-100 गुणांसह उत्तीर्ण करायची असेल, तर तुम्हाला भाग 1 30 मिनिटांत आणि चुकल्याशिवाय सोडवावा लागेल!

ग्रेड 10-11, तसेच शिक्षकांसाठी युनिफाइड स्टेट परीक्षेची तयारी अभ्यासक्रम. गणितातील युनिफाइड स्टेट परीक्षेचा भाग 1 (पहिल्या 12 समस्या) आणि समस्या 13 (त्रिकोणमिति) सोडवण्यासाठी आवश्यक असलेली प्रत्येक गोष्ट. आणि हे युनिफाइड स्टेट परीक्षेत 70 पेक्षा जास्त गुण आहेत आणि 100 गुणांचा विद्यार्थी किंवा मानवतेचा विद्यार्थी त्यांच्याशिवाय करू शकत नाही.

सर्व आवश्यक सिद्धांत. जलद मार्गयुनिफाइड स्टेट परीक्षेचे उपाय, तोटे आणि रहस्ये. FIPI टास्क बँकेच्या भाग 1 च्या सर्व वर्तमान कार्यांचे विश्लेषण केले गेले आहे. अभ्यासक्रम युनिफाइड स्टेट परीक्षा 2018 च्या आवश्यकतांचे पूर्णपणे पालन करतो.

कोर्समध्ये 5 मोठे विषय आहेत, प्रत्येकी 2.5 तास. प्रत्येक विषय सुरवातीपासून, सरळ आणि स्पष्टपणे दिलेला आहे.

युनिफाइड स्टेट परीक्षा कार्ये शेकडो. शब्द समस्या आणि संभाव्यता सिद्धांत. समस्या सोडवण्यासाठी सोपे आणि लक्षात ठेवण्यास सोपे अल्गोरिदम. भूमिती. सिद्धांत, संदर्भ साहित्य, सर्व प्रकारच्या युनिफाइड स्टेट परीक्षा कार्यांचे विश्लेषण. स्टिरिओमेट्री. अवघड उपाय, उपयुक्त फसवणूक पत्रके, अवकाशीय कल्पनाशक्तीचा विकास. त्रिकोणमिती सुरवातीपासून समस्येपर्यंत 13. क्रॅमिंगऐवजी समजून घेणे. जटिल संकल्पनांचे स्पष्ट स्पष्टीकरण. बीजगणित. मूळ, शक्ती आणि लॉगरिदम, कार्य आणि व्युत्पन्न. युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या भाग 2 च्या जटिल समस्या सोडवण्याचा आधार.

काहीवेळा शाळेत स्पष्ट केलेले विषय नेहमी प्रथमच स्पष्ट होत नाहीत. हे विशेषतः गणितासारख्या विषयासाठी खरे आहे. परंतु जेव्हा हे विज्ञान दोन भागांमध्ये विभागले जाऊ लागते तेव्हा सर्वकाही अधिक क्लिष्ट होते: बीजगणित आणि भूमिती.

प्रत्येक विद्यार्थ्याकडे दोन पैकी एका दिशेने क्षमता असू शकते, परंतु विशेषतः मध्ये प्राथमिक शाळाबीजगणित आणि भूमिती या दोन्हींचा आधार समजून घेणे महत्त्वाचे आहे. भूमितीमध्ये, मुख्य विषयांपैकी एक त्रिकोणावरील विभाग मानला जातो.

त्रिकोणाची मध्यरेषा कशी शोधायची? चला ते बाहेर काढूया.

मूलभूत संकल्पना

सुरुवातीला, त्रिकोणाची मधली रेषा कशी शोधायची हे शोधण्यासाठी, ते काय आहे हे समजून घेणे आवश्यक आहे.

मधली रेषा काढण्यावर कोणतेही निर्बंध नाहीत: त्रिकोण काहीही असू शकतो (समद्विभुज, समभुज, आयताकृती). आणि मधल्या ओळीशी संबंधित सर्व गुणधर्म प्रभावी असतील.

त्रिकोणाची मध्यरेषा हा त्याच्या 2 बाजूंच्या मध्यबिंदूंना जोडणारा एक खंड आहे. म्हणून, कोणत्याही त्रिकोणामध्ये अशा 3 रेषा असू शकतात.

गुणधर्म

त्रिकोणाची मध्यरेषा कशी शोधायची हे जाणून घेण्यासाठी, लक्षात ठेवण्याची आवश्यकता असलेले त्याचे गुणधर्म नियुक्त करूया, अन्यथा त्यांच्याशिवाय मिडलाइनची लांबी नियुक्त करण्याच्या आवश्यकतेसह समस्या सोडवणे अशक्य होईल, कारण प्राप्त केलेला सर्व डेटा प्रमाणित करणे आवश्यक आहे. आणि प्रमेय, स्वयंसिद्ध किंवा गुणधर्मांसह युक्तिवाद केला.

अशाप्रकारे, या प्रश्नाचे उत्तर देण्यासाठी: "त्रिकोण ABC ची मध्यरेषा कशी शोधायची?", त्रिकोणाची एक बाजू जाणून घेणे पुरेसे आहे.

एक उदाहरण देऊ

चित्र पहा. हे मधली रेषा DE सह त्रिकोण ABC दाखवते. लक्षात घ्या की ते त्रिकोणातील बेस एसीच्या समांतर आहे. त्यामुळे, AC चे मूल्य काहीही असले तरी, सरासरी रेषा DE निम्मी असेल. उदाहरणार्थ, AC=20 म्हणजे DE=10, इ.

या सोप्या मार्गांनी तुम्ही त्रिकोणाची मधली रेषा कशी शोधायची हे समजू शकता. त्याचे मूलभूत गुणधर्म आणि व्याख्या लक्षात ठेवा, आणि नंतर आपल्याला त्याचा अर्थ शोधण्यात कधीही समस्या येणार नाहीत.

त्रिकोणाची मधली रेषा. नमस्कार मित्रांनो! आज सैद्धांतिक साहित्य आहे, ते त्रिकोणाशी जोडलेले आहे. परीक्षेत कार्यांचा एक गट असतो जो त्याच्या मध्यरेषेच्या गुणधर्माचा वापर करतो. आणि केवळ त्रिकोणाच्या समस्यांमध्येच नाही तर ट्रॅपेझॉइड्ससह देखील. एक होता ज्यामध्ये मी फक्त या तथ्ये लक्षात ठेवण्याचा सल्ला दिला होता, आता अधिक तपशीलवार...

त्रिकोणाची मधली रेषा काय आहे आणि तिचे गुणधर्म काय आहेत?

व्याख्या.त्रिकोणाची मध्यरेषा हा त्रिकोणाच्या बाजूंच्या मध्यबिंदूंना जोडणारा एक खंड आहे.

हे स्पष्ट आहे की त्रिकोणामध्ये तीन मध्य रेषा आहेत. चला त्यांना दाखवूया:

कोणत्याही पुराव्याशिवाय, तुमच्या लक्षात आले असेल की तयार झालेले सर्व चार त्रिकोण समान आहेत. हे खरे आहे, परंतु आम्ही याबद्दल अधिक तपशीलवार नंतर बोलू.

प्रमेय. दिलेल्या दोन बाजूंच्या मध्यबिंदूंना जोडणारी त्रिकोणाची मधली रेषा तिसऱ्या बाजूस समांतर असते आणि तिच्या अर्ध्या बरोबर असते.

पुरावा:

1. BMN आणि BAC त्रिकोण पाहू. स्थितीनुसार, आमच्याकडे BM=MA, BN=NC आहे. आम्ही लिहू शकतो:

म्हणून, त्रिकोण दोन आनुपातिक बाजू आणि त्यांच्यामधील कोन (समानतेचे दुसरे चिन्ह) मध्ये समान आहेत. यातून पुढे काय? आणि काय:

MN||AC रेषांच्या समांतरतेवर आधारित.

2. त्रिकोणांच्या समानतेवरून देखील ते पुढे येते

म्हणजेच, MN दोन पट लहान आहे. सिद्ध!

चला एक सामान्य समस्या सोडवूया.

त्रिकोण ABC मध्ये, बिंदू M, N, K हे AB, BC, AC बाजूंचे मध्यबिंदू आहेत. MN=12, MK=10, KN=8 असल्यास ABC त्रिकोणाची परिमिती शोधा.

उपाय. अर्थात, सर्वप्रथम तुम्ही त्रिकोण MNK चे अस्तित्व (आणि म्हणून त्रिकोण ABC चे अस्तित्व) तपासले पाहिजे. दोन लहान बाजूंची बेरीज तिसऱ्या बाजूपेक्षा मोठी असली पाहिजे, 10+8>12 लिहा. पूर्ण होईल, म्हणून त्रिकोण अस्तित्वात आहे.

चला एक स्केच तयार करूया:

अशा प्रकारे, ABC त्रिकोणाची परिमिती 24+20+16=60 आहे.

*आता तिन्ही मधल्या रेषा बांधून मिळणाऱ्या त्रिकोणांबद्दल अधिक तपशील. त्यांची समानता सहज सिद्ध होते. पहा:

ते तीन बाजूंनी समान आहेत. अर्थात, इतर चिन्हे येथे देखील लागू होतात. आम्हाला ते मिळते

परीक्षेत समाविष्ट केलेल्या कार्यांमध्ये ही मालमत्ता कशी वापरली जाते? मी विशेषतः स्टिरिओमेट्रीमधील समस्यांवर लक्ष केंद्रित करू इच्छितो. असे प्रकार आहेत ज्यामध्ये आपण त्रिकोणी प्रिझमबद्दल बोलत आहोत.

उदाहरणार्थ, असे म्हटले जाते की विमान तळाच्या बाजूंच्या मध्यबिंदूंमधून जाते आणि ते तळाच्या तिसऱ्या काठाला समांतर असते. प्रिझमच्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळातील बदल, त्याची मात्रा आणि इतरांबद्दल प्रश्न उपस्थित केले जातात.

तर इथे आहे. वर सादर केलेली माहिती जाणून घेतल्यास आणि समजून घेतल्यास, आपण ताबडतोब निर्धारित कराल की हे विमान निर्दिष्ट प्रिझमच्या पायापासून एक चतुर्थांश भाग कापून टाकते आणि तोंडी समस्येचे निराकरण करते. अशा कार्यांसह.

इतकंच! ऑल द बेस्ट!

लेख सामग्री डाउनलोड करा

विनम्र, अलेक्झांडर क्रुतित्स्कीख.