วิธีหาเส้นกึ่งกลางที่เล็กที่สุด จะหาเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยมได้อย่างไร? คุณสมบัติพื้นฐาน ความหมาย และวิธีการ

\[(\Large(\text(ความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม)))\]

คำจำกัดความ

สามเหลี่ยมสองรูปจะเรียกว่าคล้ายกันถ้ามุมของพวกมันเท่ากันตามลำดับ และด้านของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งเป็นสัดส่วนกับด้านที่คล้ายกันของอีกสามเหลี่ยมหนึ่ง
(ด้านจะเรียกว่าคล้ายกันหากอยู่ตรงข้ามกับมุมที่เท่ากัน)

ค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงของรูปสามเหลี่ยม (คล้ายกัน) คือตัวเลขที่เท่ากับอัตราส่วนของด้านที่คล้ายกันของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้

คำนิยาม

เส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยมคือผลรวมของความยาวของด้านทั้งหมด

ทฤษฎีบท

อัตราส่วนของเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมสองรูปที่คล้ายกันจะเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน

การพิสูจน์

พิจารณารูปสามเหลี่ยม \(ABC\) และ \(A_1B_1C_1\) ที่มีด้าน \(a,b,c\) และ \(a_1, b_1, c_1\) ตามลำดับ (ดูรูปด้านบน)

แล้ว \(P_(ABC)=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot P_(A_1B_1C_1)\)

ทฤษฎีบท

อัตราส่วนของพื้นที่ของสามเหลี่ยมสองรูปที่คล้ายกันจะเท่ากับกำลังสองของสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน

การพิสูจน์

ให้สามเหลี่ยม \(ABC\) และ \(A_1B_1C_1\) คล้ายกัน และ \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1) = k\)- ให้เราแสดงพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้ด้วยตัวอักษร \(S\) และ \(S_1\) ตามลำดับ

เนื่องจาก \(\angle A = \angle A_1\) ดังนั้น \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)(โดยทฤษฎีบทเรื่องอัตราส่วนพื้นที่สามเหลี่ยมที่มีมุมเท่ากัน)

เพราะ \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = k\), ที่ \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\cdot\dfrac(AC)(A_1C_1) = k\cdot k = k^2\)ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

\[(\Large(\text(สัญญาณของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม)))\]

ทฤษฎีบท (สัญญาณแรกของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม)

หากมุมสองมุมของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันกับสองมุมของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ แสดงว่ารูปสามเหลี่ยมดังกล่าวมีความคล้ายคลึงกัน

การพิสูจน์

ให้ \(ABC\) และ \(A_1B_1C_1\) เป็นรูปสามเหลี่ยมในลักษณะที่ \(\angle A = \angle A_1\) , \(\angle B = \angle B_1\) จากนั้นตามทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม \(\มุม C = 180^\circ - \มุม A - \มุม B = 180^\circ - \มุม A_1 - \มุม B_1 = \มุม C_1\)นั่นคือมุมของสามเหลี่ยม \(ABC\) เท่ากับมุมของสามเหลี่ยม \(A_1B_1C_1\) ตามลำดับ

เนื่องจาก \(\angle A = \angle A_1\) และ \(\angle B = \angle B_1\) ดังนั้น \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)และ \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot BC)(A_1B_1\cdot B_1C_1)\).

จากความเท่าเทียมกันเหล่านี้เป็นไปตามนั้น \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1)\).

เช่นเดียวกันก็พิสูจน์ได้ว่า \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\)(ใช้ความเท่าเทียมกัน \(\angle B = \angle B_1\) , \(\angle C = \angle C_1\) )

ผลที่ได้คือ ด้านของสามเหลี่ยม \(ABC\) จะเป็นสัดส่วนกับด้านที่คล้ายกันของสามเหลี่ยม \(A_1B_1C_1\) ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ทฤษฎีบท (เกณฑ์ที่สองสำหรับความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม)

หากด้านสองด้านของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งเป็นสัดส่วนกับด้านสองด้านของสามเหลี่ยมอีกด้าน และมุมระหว่างด้านทั้งสองเท่ากัน แสดงว่ารูปสามเหลี่ยมนั้นคล้ายกัน

การพิสูจน์

พิจารณารูปสามเหลี่ยมสองรูป \(ABC\) และ \(A"B"C"\) เช่นนั้น \(\dfrac(AB)(A"B")=\dfrac(AC)(A"C")\), \(\angle BAC = \angle A"\) ลองพิสูจน์ว่าสามเหลี่ยม \(ABC\) และ \(A"B"C"\) คล้ายกัน เมื่อคำนึงถึงสัญญาณแรกของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม ก็เพียงพอที่จะแสดงว่า \(\angle B = \angle B"\)

พิจารณารูปสามเหลี่ยม \(ABC""\) ด้วย \(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) สามเหลี่ยม \(ABC""\) และ \(A"B"C"\) มีความคล้ายคลึงกันตามเกณฑ์แรกของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม จากนั้น \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC"")(A"C")\).

ในทางกลับกันตามเงื่อนไข \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C")\)- จากความเท่าเทียมกันสองตัวสุดท้ายจะตามมาว่า \(AC = AC""\)

สามเหลี่ยม \(ABC\) และ \(ABC""\) เท่ากันในสองด้านและมีมุมระหว่างสองด้าน ดังนั้น \(\มุม B = \มุม 2 = \มุม B"\).

ทฤษฎีบท (เครื่องหมายที่สามของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม)

ถ้าด้านสามด้านของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งเป็นสัดส่วนกับด้านสามด้านของสามเหลี่ยมอีกด้าน สามเหลี่ยมนั้นจะคล้ายกัน

การพิสูจน์

ให้ด้านของสามเหลี่ยม \(ABC\) และ \(A"B"C"\) เป็นสัดส่วน: \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\)- ให้เราพิสูจน์ว่ารูปสามเหลี่ยม \(ABC\) และ \(A"B"C"\) มีความคล้ายคลึงกัน

ในการทำเช่นนี้ โดยคำนึงถึงเกณฑ์ที่สองสำหรับความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ได้ว่า \(\angle BAC = \angle A"\)

พิจารณารูปสามเหลี่ยม \(ABC""\) ด้วย \(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\)

สามเหลี่ยม \(ABC""\) และ \(A"B"C"\) มีความคล้ายคลึงกันตามเกณฑ์แรกของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม ดังนั้น \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(BC"")(B"C") = \dfrac(C""A)(C"A")\).

จากห่วงโซ่สุดท้ายของความเสมอภาคและเงื่อนไข \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\)ตามนั้น \(BC = BC""\) , \(CA = C""A\)

สามเหลี่ยม \(ABC\) และ \(ABC""\) เท่ากันทั้งสามด้าน ดังนั้น \(\มุม BAC = \มุม 1 = \มุม A"\).

\[(\Large(\text(ทฤษฎีบทของทาเลส)))\]

ทฤษฎีบท

หากคุณทำเครื่องหมายส่วนที่เท่ากันที่ด้านหนึ่งของมุมและลากเส้นตรงขนานผ่านปลายของมัน เส้นตรงเหล่านี้จะตัดส่วนที่เท่ากันในอีกด้านหนึ่งด้วย

การพิสูจน์

มาพิสูจน์กันก่อน บทแทรก:ถ้าใน \(\triangle OBB_1\) เส้นตรง \(a\parallel BB_1\) ถูกลากผ่านตรงกลาง \(A\) ของด้าน \(OB\) แล้วเส้นตรงก็จะตัดด้าน \(OB_1\) ในด้วย ตรงกลาง

ผ่านจุด \(B_1\) เราวาด \(l\parallel OB\) ให้ \(l\cap a=K\) . จากนั้น \(ABB_1K\) เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น \(B_1K=AB=OA\) และ \(\มุม A_1KB_1=\มุม ABB_1=\มุม OAA_1\); \(\มุม AA_1O=\มุม KA_1B_1\)เหมือนแนวตั้ง ดังนั้นตามสัญญาณที่สอง \(\สามเหลี่ยม OAA_1=\สามเหลี่ยม B_1KA_1 \ลูกศรขวา OA_1=A_1B_1\)- บทแทรกได้รับการพิสูจน์แล้ว

เรามาดูการพิสูจน์ทฤษฎีบทกันดีกว่า ให้ \(OA=AB=BC\) , \(a\parallel b\parallel c\) และเราต้องพิสูจน์ว่า \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\) .

ดังนั้นตามบทแทรกนี้ \(OA_1=A_1B_1\) ลองพิสูจน์ว่า \(A_1B_1=B_1C_1\) . ให้เราลากเส้น \(d\parallel OC\) ผ่านจุด \(B_1\) และปล่อยให้ \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\) ดังนั้น \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\) ดังนั้น, \(\มุม A_1B_1D_1=\มุม C_1B_1D_2\)เหมือนแนวตั้ง \(\มุม A_1D_1B_1=\มุม C_1D_2B_1\)นอนเหมือนไม้กางเขนและตามสัญญาณที่สอง \(\สามเหลี่ยม A_1B_1D_1=\สามเหลี่ยม C_1B_1D_2 \ลูกศรขวา A_1B_1=B_1C_1\).

ทฤษฎีบทของทาเลส

เส้นขนานตัดส่วนของสัดส่วนที่ด้านข้างของมุมออก

การพิสูจน์

ให้เส้นขนาน \(p\ขนาน q\ขนาน r\ขนาน s\)แบ่งบรรทัดหนึ่งออกเป็นส่วน \(a, b, c, d\) จากนั้นเส้นตรงเส้นที่สองควรแบ่งออกเป็นส่วน \(ka, kb, kc, kd\) ตามลำดับ โดยที่ \(k\) คือตัวเลขจำนวนหนึ่ง ซึ่งเป็นค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วนที่เท่ากันของส่วนต่างๆ

ขอให้เราลากผ่านจุด \(A_1\) เส้นตรง \(p\parallel OD\) (\(ABB_2A_1\) เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น \(AB=A_1B_2\) ) แล้ว \(\สามเหลี่ยม OAA_1 \ซิม \สามเหลี่ยม A_1B_1B_2\)ตรงสองมุม เพราะฉะนั้น, \(\dfrac(OA)(A_1B_2)=\dfrac(OA_1)(A_1B_1) \ลูกศรขวา A_1B_1=kb\).

ในทำนองเดียวกัน เราลากเส้นตรงผ่าน \(B_1\) \(q\ขนาน OD \ลูกศรขวา \สามเหลี่ยม OBB_1\sim \สามเหลี่ยม B_1C_1C_2 \ลูกศรขวา B_1C_1=kc\)ฯลฯ

\[(\Large(\text(เส้นกลางของสามเหลี่ยม)))\]

คำนิยาม

เส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท

เส้นกลางของรูปสามเหลี่ยมขนานกับด้านที่สามและเท่ากับครึ่งหนึ่ง

การพิสูจน์

1) ความขนานของเส้นกึ่งกลางถึงฐานต่อจากสิ่งที่พิสูจน์แล้วข้างต้น บทแทรก.

2) ขอให้เราพิสูจน์ว่า \(MN=\dfrac12 AC\)

ผ่านจุด \(N\) เราวาดเส้นขนานกับ \(AB\) ให้เส้นนี้ตัดด้าน \(AC\) ที่จุด \(K\) จากนั้น \(AMNK\) เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ( \(AM\ขนาน NK, MN\AK ขนาน\)ตามข้อก่อนหน้า) ดังนั้น \(MN=AK\)

เพราะ \(NK\parallel AB\) และ \(N\) เป็นจุดกึ่งกลางของ \(BC\) จากนั้นตามทฤษฎีบทของทาเลส \(K\) คือจุดกึ่งกลางของ \(AC\) ดังนั้น \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\)

ผลที่ตามมา

เส้นกลางของรูปสามเหลี่ยมตัดออกจากสามเหลี่ยมที่คล้ายกับเส้นที่กำหนดโดยมีค่าสัมประสิทธิ์ \(\frac12\)

รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกันเพียงสองด้านเรียกว่า สี่เหลี่ยมคางหมู.

ด้านขนานของสี่เหลี่ยมคางหมูเรียกว่าด้านของมัน เหตุผลและด้านที่ไม่ขนานกันนั้นเรียกว่า ด้านข้าง- หากด้านข้างเท่ากัน แสดงว่าสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นเป็นหน้าจั่ว ระยะห่างระหว่างฐานเรียกว่าความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู

สี่เหลี่ยมคางหมูเส้นกลาง

เส้นกึ่งกลางคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกับฐาน

ทฤษฎีบท:

ถ้าเส้นตรงที่ตัดตรงกลางด้านหนึ่งขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู มันจะตัดด้านที่สองของสี่เหลี่ยมคางหมู

ทฤษฎีบท:

ความยาวของเส้นกลางเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความยาวของฐาน

เส้นกึ่งกลาง MN, AB และ CD - ฐาน, AD และ BC - ด้านข้าง

MN = (AB + กระแสตรง)/2

ทฤษฎีบท:

ความยาวของเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความยาวของฐาน

ภารกิจหลัก: พิสูจน์ว่าเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูตัดส่วนที่ปลายอยู่ตรงกลางฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู

เส้นกลางของสามเหลี่ยม

ส่วนที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านทั้งสองของรูปสามเหลี่ยมเรียกว่าเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม ขนานกับด้านที่สามและมีความยาวเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวของด้านที่สาม
ทฤษฎีบท: ถ้าเส้นที่ตัดจุดกึ่งกลางของด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมขนานกับอีกด้านของรูปสามเหลี่ยม เส้นนั้นจะตัดด้านที่สาม

AM = MC และ BN = NC =>

การใช้คุณสมบัติเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมคางหมู

การแบ่งส่วนออกเป็นจำนวนส่วนเท่า ๆ กัน
ภารกิจ: แบ่งส่วน AB ออกเป็น 5 ส่วนเท่า ๆ กัน
สารละลาย:
ให้ p เป็นรังสีสุ่มที่มีจุดกำเนิดคือจุด A และไม่อยู่บนเส้น AB เราจัดเรียง 5 ส่วนเท่า ๆ กันตามลำดับบน p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​​​A 5
เราเชื่อมต่อ A 5 กับ B และลากเส้นดังกล่าวผ่าน A 4, A 3, A 2 และ A 1 ที่ขนานกับ A 5 B พวกเขาตัดกัน AB ตามลำดับที่จุด B 4, B 3, B 2 และ B 1 จุดเหล่านี้แบ่งส่วน AB ออกเป็น 5 ส่วนเท่า ๆ กัน อันที่จริง จากรูปสี่เหลี่ยมคางหมู BB 3 A 3 A 5 เราจะเห็นว่า BB 4 = B 4 B 3 ในทำนองเดียวกันจากสี่เหลี่ยมคางหมู B 4 B 2 A 2 A 4 เราได้ B 4 B 3 = B 3 B 2

ในขณะที่มาจากสี่เหลี่ยมคางหมู B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1
จากนั้นจาก B 2 AA 2 จะตามมาว่า B 2 B 1 = B 1 A โดยสรุปเราได้:
เอบี 1 = บี 1 บี 2 = บี 2 บี 3 = บี 3 บี 4 = บี 4 บี
เห็นได้ชัดว่าในการแบ่งเซกเมนต์ AB ออกเป็นอีกจำนวนหนึ่งที่มีส่วนเท่าๆ กัน เราต้องฉายเซ็กเมนต์ที่เท่ากันในจำนวนเท่ากันลงบนรังสี p แล้วดำเนินการต่อในลักษณะที่อธิบายไว้ข้างต้น

หลักสูตรวิดีโอ "รับ A" ประกอบด้วยหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นในการผ่านการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ด้วยคะแนน 60-65 คะแนน ทำภารกิจทั้งหมด 1-13 ของการสอบ Profile Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ให้สมบูรณ์ ยังเหมาะสำหรับการผ่านการสอบ Basic Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย หากคุณต้องการผ่านการสอบ Unified State ด้วยคะแนน 90-100 คุณต้องแก้ส่วนที่ 1 ใน 30 นาทีโดยไม่มีข้อผิดพลาด!

หลักสูตรเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State สำหรับเกรด 10-11 รวมถึงสำหรับครูผู้สอน ทุกสิ่งที่คุณต้องการเพื่อแก้ส่วนที่ 1 ของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหา 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่คือมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียน 100 คะแนนและนักศึกษามนุษยศาสตร์ก็สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา

ทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด วิธีที่รวดเร็วแนวทางแก้ไข ข้อผิดพลาด และความลับของการสอบ Unified State งานปัจจุบันทั้งหมดของส่วนที่ 1 จาก FIPI Task Bank ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ Unified State Exam 2018 อย่างสมบูรณ์

หลักสูตรประกอบด้วย 5 หัวข้อใหญ่ หัวข้อละ 2.5 ชั่วโมง แต่ละหัวข้อได้รับตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน

งานสอบ Unified State หลายร้อยรายการ ปัญหาคำศัพท์และทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมที่ง่ายและง่ายต่อการจดจำสำหรับการแก้ปัญหา เรขาคณิต. ทฤษฎี เอกสารอ้างอิง การวิเคราะห์งานการสอบ Unified State ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี วิธีแก้ปัญหาที่ยุ่งยาก เอกสารโกงที่มีประโยชน์ การพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้นจนถึงปัญหา 13 ทำความเข้าใจแทนการยัดเยียด คำอธิบายที่ชัดเจนของแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก กำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ พื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนของส่วนที่ 2 ของการสอบ Unified State

บางครั้งหัวข้อที่อธิบายในโรงเรียนอาจไม่ชัดเจนในครั้งแรกเสมอไป โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับวิชาเช่นคณิตศาสตร์ แต่ทุกอย่างจะซับซ้อนมากขึ้นเมื่อวิทยาศาสตร์นี้เริ่มแบ่งออกเป็นสองส่วน: พีชคณิตและเรขาคณิต

นักเรียนแต่ละคนอาจมีความสามารถด้านใดด้านหนึ่งจากสองด้าน แต่โดยเฉพาะอย่างยิ่งใน โรงเรียนประถมศึกษาสิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจพื้นฐานของทั้งพีชคณิตและเรขาคณิต ในเรขาคณิต หนึ่งในหัวข้อหลักถือเป็นหัวข้อเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม

จะหาเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยมได้อย่างไร? ลองคิดดูสิ

แนวคิดพื้นฐาน

ขั้นแรก หากต้องการทราบว่าจะหาเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยมได้อย่างไร สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่ามันคืออะไร

ไม่มีข้อ จำกัด ในการวาดเส้นกลาง: สามเหลี่ยมสามารถเป็นอะไรก็ได้ (หน้าจั่ว, ด้านเท่ากันหมด, สี่เหลี่ยม) และคุณสมบัติทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับสายกลางจะมีผลใช้บังคับ

เส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดกึ่งกลางของด้านทั้ง 2 ด้าน ดังนั้น สามเหลี่ยมใดๆ ก็สามารถมีเส้นตรงดังกล่าวได้ 3 เส้น

คุณสมบัติ

หากต้องการทราบวิธีค้นหาเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยม ให้กำหนดคุณสมบัติของมันที่ต้องจดจำ มิฉะนั้นหากไม่มีคุณสมบัติเหล่านั้นก็จะเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ปัญหาโดยไม่จำเป็นต้องกำหนดความยาวของเส้นกึ่งกลาง เนื่องจากข้อมูลที่ได้รับทั้งหมดจะต้องได้รับการพิสูจน์ และโต้เถียงกับทฤษฎีบท สัจพจน์ หรือคุณสมบัติ

ดังนั้น เพื่อตอบคำถาม: “จะหาเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยม ABC ได้อย่างไร?” ก็เพียงพอแล้วที่จะรู้ด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม

ลองยกตัวอย่าง

ลองดูที่ภาพ แสดงรูปสามเหลี่ยม ABC โดยมีเส้นกลาง DE โปรดทราบว่าขนานกับฐาน AC ในรูปสามเหลี่ยม ดังนั้น ไม่ว่าค่า AC จะเป็นเท่าใด เส้น DE เฉลี่ยจะมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่ง ตัวอย่างเช่น AC=20 หมายถึง DE=10 เป็นต้น

ด้วยวิธีง่ายๆ เหล่านี้ คุณจะเข้าใจวิธีหาเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมได้ จำคุณสมบัติพื้นฐานและคำจำกัดความของมัน แล้วคุณจะไม่มีปัญหาในการค้นหาความหมายของมัน

เส้นกลางของรูปสามเหลี่ยม สวัสดีเพื่อนๆ! วันนี้มีเนื้อหาทางทฤษฎีที่เชื่อมโยงกับรูปสามเหลี่ยม ข้อสอบประกอบด้วยกลุ่มงานที่ใช้คุณสมบัติของเส้นกึ่งกลาง และไม่ใช่แค่ปัญหากับสามเหลี่ยมเท่านั้น แต่ยังรวมถึงสี่เหลี่ยมคางหมูด้วย มีสิ่งหนึ่งที่ฉันแนะนำให้จดจำข้อเท็จจริงเหล่านี้ ตอนนี้ให้ละเอียดมากขึ้น...

เส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมคืออะไร และมีคุณสมบัติอย่างไร

คำนิยาม.เส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดกึ่งกลางของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม

เห็นได้ชัดว่ามีเส้นกลางสามเส้นในรูปสามเหลี่ยม มาแสดงให้พวกเขาดู:

หากไม่มีข้อพิสูจน์ใดๆ คุณอาจสังเกตเห็นแล้วว่ารูปสามเหลี่ยมทั้งสี่ที่เกิดขึ้นมีขนาดเท่ากัน นี่เป็นเรื่องจริง แต่เราจะพูดถึงรายละเอียดเพิ่มเติมในภายหลัง

ทฤษฎีบท- เส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านที่กำหนดสองด้านนั้นขนานกับด้านที่สามและเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านนั้น

การพิสูจน์:

1. ลองดูสามเหลี่ยม BMN และ BAC ตามเงื่อนไขเรามี BM=MA, BN=NC เราสามารถเขียนได้:

ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมจึงมีความคล้ายคลึงกันในด้านสองด้านตามสัดส่วนและมีมุมระหว่างกัน (เครื่องหมายที่สองของความคล้ายคลึงกัน) ต่อจากนี้จะมีอะไรบ้าง? และอะไร:

ขึ้นอยู่กับความขนานของเส้น MN|AC

2. จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมก็เป็นไปตามนั้น

นั่นคือ MN น้อยกว่าสองเท่า พิสูจน์แล้ว!

มาแก้ไขปัญหาทั่วไปกัน

ในรูปสามเหลี่ยม ABC จุด M, N, K เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน AB, BC, AC ค้นหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม ABC ถ้า MN=12, MK=10, KN=8

สารละลาย. แน่นอน ก่อนอื่น คุณควรตรวจสอบการมีอยู่ของสามเหลี่ยม MNK (และการมีอยู่ของสามเหลี่ยม ABC) ผลรวมของด้านเล็กสองด้านต้องมากกว่าด้านที่สาม เขียนว่า 10+8>12 จะสมหวังจึงมีรูปสามเหลี่ยมอยู่

มาสร้างภาพร่างกันเถอะ:

ดังนั้น เส้นรอบวงของสามเหลี่ยม ABC คือ 24+20+16=60

*ตอนนี้มีรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับสามเหลี่ยมที่ได้จากการสร้างเส้นกลางทั้งสามเส้น ความเท่าเทียมกันของพวกเขาได้รับการพิสูจน์อย่างง่ายดาย ดู:

พวกมันเท่ากันทั้งสามด้าน แน่นอนว่ายังมีสัญญาณอื่นๆ ที่ใช้ที่นี่เช่นกัน เราเข้าใจแล้ว

คุณสมบัตินี้ถูกใช้ในงานที่รวมอยู่ในการสอบอย่างไร ฉันอยากจะเน้นไปที่ปัญหาในด้านสามมิติเป็นพิเศษ มีหลายประเภทที่เรากำลังพูดถึงปริซึมสามเหลี่ยม

ตัวอย่างเช่น ว่ากันว่าเครื่องบินแล่นผ่านจุดกึ่งกลางของด้านข้างของฐาน และขนานกับขอบที่สามของฐาน มีคำถามเกิดขึ้นเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงพื้นที่ผิวของปริซึม ปริมาตร และอื่นๆ

ดังนั้นนี่คือ เมื่อทราบและเข้าใจข้อมูลที่นำเสนอข้างต้น คุณจะทราบได้ทันทีว่าระนาบนี้ตัดหนึ่งในสี่ออกจากฐานของปริซึมที่ระบุและแก้ไขปัญหาด้วยวาจา ด้วยภารกิจดังกล่าว

นั่นคือทั้งหมด! ขอให้ดีที่สุด!

ดาวน์โหลดเนื้อหาบทความ

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh