En küçük orta hat nasıl bulunur? Üçgenin orta çizgisi nasıl bulunur? Temel özellikler, tanımlar ve yöntemler

\[(\Large(\text(Üçgenlerin benzerliği))))\]

Tanımlar

İki üçgenin açıları sırasıyla eşitse ve bir üçgenin kenarları diğerinin benzer kenarlarıyla orantılıysa benzer üçgenler denir.
(eşit açıların karşısında yer alırlarsa taraflara benzer denir).

(Benzer) üçgenlerin benzerlik katsayısı, bu üçgenlerin benzer kenarlarının oranına eşit bir sayıdır.

Tanım

Bir üçgenin çevresi tüm kenarlarının uzunluklarının toplamıdır.

Teorem

İki benzer üçgenin çevrelerinin oranı benzerlik katsayısına eşittir.

Kanıt

Kenarları sırasıyla \(a,b,c\) ve \(a_1, b_1, c_1\) olan \(ABC\) ve \(A_1B_1C_1\) üçgenlerini düşünün (yukarıdaki şekle bakın).

Daha sonra \(P_(ABC)=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot P_(A_1B_1C_1)\)

Teorem

İki benzer üçgenin alanlarının oranı benzerlik katsayısının karesine eşittir.

Kanıt

\(ABC\) ve \(A_1B_1C_1\) üçgenleri benzer olsun ve \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1) = k\). Bu üçgenlerin alanlarını sırasıyla \(S\) ve \(S_1\) harfleriyle gösterelim.

\(\angle A = \angle A_1\) olduğundan, o zaman \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)(eşit açılara sahip üçgenlerin alanlarının oranına ilişkin teorem ile).

Çünkü \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = k\), O \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\cdot\dfrac(AC)(A_1C_1) = k\cdot k = k^2\) Kanıtlanması gereken şey buydu.

\[(\Large(\text(Üçgenlerin benzerlik işaretleri))))\]

Teorem (üçgenlerin benzerliğinin ilk işareti)

Bir üçgenin iki açısı sırasıyla başka bir üçgenin iki açısına eşitse, bu tür üçgenler benzerdir.

Kanıt

\(ABC\) ve \(A_1B_1C_1\)'nin \(\angle A = \angle A_1\) , \(\angle B = \angle B_1\) olacak şekilde üçgenler olmasına izin verin. Daha sonra bir üçgenin açılarının toplamına ilişkin teoreme göre \(\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - \angle A_1 - \angle B_1 = \angle C_1\) yani \(ABC\) üçgeninin açıları sırasıyla \(A_1B_1C_1\) üçgeninin açılarına eşittir.

\(\angle A = \angle A_1\) ve \(\angle B = \angle B_1\) olduğundan, o zaman \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\) Ve \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot BC)(A_1B_1\cdot B_1C_1)\).

Bu eşitliklerden şu sonuç çıkıyor: \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1)\).

Benzer şekilde, kanıtlanmıştır ki \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\)(eşitlikler kullanılarak \(\angle B = \angle B_1\) , \(\angle C = \angle C_1\) ).

Sonuç olarak, \(ABC\) üçgeninin kenarları, \(A_1B_1C_1\) üçgeninin benzer kenarlarıyla orantılıdır ve bunun kanıtlanması gerekiyordu.

Teorem (üçgenlerin benzerliği için ikinci kriter)

Bir üçgenin iki kenarı diğer üçgenin iki kenarıyla orantılıysa ve bu kenarlar arasındaki açılar eşitse bu üçgenler benzerdir.

Kanıt

\(ABC\) ve \(A"B"C"\) şeklinde iki üçgen düşünün: \(\dfrac(AB)(A"B")=\dfrac(AC)(A"C")\), \(\angle BAC = \angle A"\) \(ABC\) ve \(A"B"C"\) üçgenlerinin benzer olduğunu kanıtlayalım. Üçgenlerin benzerliğinin ilk işaretini dikkate alarak \(\angle B = \angle B"\) olduğunu göstermek yeterlidir.

\(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) olan bir \(ABC""\) üçgenini düşünün. \(ABC""\) ve \(A"B"C"\) üçgenleri, üçgenlerin benzerliğine ilişkin ilk kritere göre benzerdir, o halde \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC"")(A"C")\).

Öte yandan duruma göre \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C")\). Son iki eşitlikten \(AC = AC""\) sonucu çıkar.

\(ABC\) ve \(ABC""\) üçgenlerinin iki kenarı ve aralarındaki açı eşittir, dolayısıyla, \(\açı B = \açı 2 = \açı B"\).

Teorem (üçgenlerin benzerliğinin üçüncü işareti)

Bir üçgenin üç kenarı başka bir üçgenin üç kenarıyla orantılıysa bu üçgenler benzerdir.

Kanıt

\(ABC\) ve \(A"B"C"\) üçgenlerinin kenarları orantılı olsun: \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\). \(ABC\) ve \(A"B"C"\) üçgenlerinin benzer olduğunu kanıtlayalım.

Bunu yapmak için üçgenlerin benzerliğine ilişkin ikinci kriteri dikkate alarak \(\angle BAC = \angle A"\) olduğunu kanıtlamak yeterlidir.

\(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) olan bir \(ABC""\) üçgenini düşünün.

\(ABC""\) ve \(A"B"C"\) üçgenleri, üçgenlerin benzerliğine ilişkin birinci kritere göre benzerdir, bu nedenle, \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(BC"")(B"C") = \dfrac(C""A)(C"A")\).

Son eşitlikler ve koşullar zincirinden \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\) bundan \(BC = BC""\) , \(CA = C""A\) sonucu çıkar.

\(ABC\) ve \(ABC""\) üçgenlerinin üç tarafı eşittir, dolayısıyla, \(\angle BAC = \angle 1 = \angle A"\).

\[(\Large(\text(Thales Teoremi))))\]

Teorem

Bir açının bir tarafında eşit parçalar işaretlerseniz ve uçlarından paralel düz çizgiler çizerseniz, bu düz çizgiler diğer tarafta da eşit parçaları kesecektir.

Kanıt

Önce kanıtlayalım Lema: Eğer \(\triangle OBB_1\)'de \(a\paralel BB_1\) düz bir çizgisi \(OB\) kenarının \(A\) ortasından çizilirse, o zaman bu aynı zamanda \(OB_1\) kenarıyla da kesişecektir. orta.

\(B_1\) noktası boyunca \(l\paralel OB\) çiziyoruz. \(l\cap a=K\) olsun. O halde \(ABB_1K\) bir paralelkenardır, dolayısıyla \(B_1K=AB=OA\) ve \(\angle A_1KB_1=\angle ABB_1=\angle OAA_1\); \(\angle AA_1O=\angle KA_1B_1\) dikey gibi. Yani ikinci işarete göre \(\triangle OAA_1=\triangle B_1KA_1 \Rightarrow OA_1=A_1B_1\). Lemma kanıtlanmıştır.

Teoremin ispatına geçelim. \(OA=AB=BC\) , \(a\parallel b\parallel c\) olsun ve bunu \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\) kanıtlamamız gerekiyor.

Dolayısıyla bu lemmaya göre \(OA_1=A_1B_1\) . \(A_1B_1=B_1C_1\) olduğunu kanıtlayalım. \(B_1\) noktasından geçen bir \(d\paralel OC\) çizgisi çizelim ve \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\) olsun. O halde \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) paralelkenardır, dolayısıyla \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\) . Böylece, \(\açı A_1B_1D_1=\açı C_1B_1D_2\) dikey gibi \(\açı A_1D_1B_1=\açı C_1D_2B_1\) haç gibi uzanıyor ve bu nedenle ikinci işarete göre \(\üçgen A_1B_1D_1=\üçgen C_1B_1D_2 \Rightarrow A_1B_1=B_1C_1\).

Thales teoremi

Paralel çizgiler, bir açının kenarlarındaki orantılı parçaları keser.

Kanıt

Paralel çizgiler olsun \(p\paralel q\paralel r\paralel s\) doğrulardan birini \(a, b, c, d\) parçalarına ayırdı. Daha sonra ikinci düz çizgi sırasıyla \(ka, kb, kc, kd\) segmentlerine bölünmelidir, burada \(k\) belirli bir sayıdır, segmentlerin aynı orantı katsayısıdır.

\(A_1\) noktasından bir \(p\paralel OD\) çizgisi çizelim (\(ABB_2A_1\) bir paralelkenardır, dolayısıyla \(AB=A_1B_2\) ). Daha sonra \(\triangle OAA_1 \sim \triangle A_1B_1B_2\) iki köşede. Buradan, \(\dfrac(OA)(A_1B_2)=\dfrac(OA_1)(A_1B_1) \Rightarrow A_1B_1=kb\).

Benzer şekilde \(B_1\) üzerinden düz bir çizgi çizeriz. \(q\paralel OD \Rightarrow \triangle OBB_1\sim \triangle B_1C_1C_2 \Rightarrow B_1C_1=kc\) vesaire.

\[(\Large(\text(Üçgenin orta çizgisi)))\]

Tanım

Bir üçgenin orta çizgisi, üçgenin herhangi iki tarafının orta noktalarını birleştiren bir segmenttir.

Teorem

Üçgenin orta çizgisi üçüncü kenara paralel ve yarısına eşittir.

Kanıt

1) Orta hattın tabana paralelliği yukarıda kanıtlanmış olanın sonucudur. lemmalar.

2) \(MN=\dfrac12 AC\) olduğunu kanıtlayalım.

\(N\) noktasından \(AB\)'ye paralel bir çizgi çiziyoruz. Bu doğrunun \(AC\) kenarını \(K\) noktasında kesmesine izin verin. O halde \(AMNK\) bir paralelkenardır ( \(AM\paralel NK, MN\paralel AK\)önceki noktaya göre). Yani \(MN=AK\) .

Çünkü \(NK\paralel AB\) ve \(N\), \(BC\)'nin orta noktasıdır, bu durumda Thales teoremine göre \(K\), \(AC\)'nin orta noktasıdır. Bu nedenle, \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\) .

Sonuçlar

Üçgenin orta çizgisi, \(\frac12\) katsayısına sahip verilene benzer bir üçgeni ondan keser.

Sadece iki kenarı paralel olan dörtgene denir yamuk.

Yamuğun paralel kenarlarına denir sebepler ve paralel olmayan kenarlara denir taraflar. Kenarlar eşitse, böyle bir yamuk ikizkenardır. Tabanlar arasındaki mesafeye yamuğun yüksekliği denir.

Orta Hat Yamuk

Orta çizgi, yamuğun kenarlarının orta noktalarını birleştiren bir segmenttir. Yamuğun orta çizgisi tabanlarına paraleldir.

Teorem:

Bir tarafın ortasından geçen düz çizgi yamuğun tabanlarına paralelse, yamuğun ikinci kenarını ikiye böler.

Teorem:

Orta çizginin uzunluğu taban uzunluklarının aritmetik ortalamasına eşittir

MN orta hat, AB ve CD - tabanlar, AD ve BC - yan taraflar

MN = (AB + DC)/2

Teorem:

Bir yamuğun orta çizgisinin uzunluğu, taban uzunluklarının aritmetik ortalamasına eşittir.

Ana görev: Bir yamuğun orta çizgisinin, uçları yamuğun tabanlarının ortasında bulunan bir parçayı ikiye böldüğünü kanıtlayın.

Üçgenin Orta Çizgisi

Bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasına üçgenin orta çizgisi denir. Üçüncü kenara paraleldir ve uzunluğu üçüncü kenarın uzunluğunun yarısına eşittir.
Teorem: Üçgenin bir kenarının orta noktasını kesen bir doğru, üçgenin diğer kenarına paralel ise üçüncü kenarı ikiye böler.

AM = MC ve BN = NC =>

Bir üçgenin ve yamuğun orta hat özelliklerinin uygulanması

Bir parçayı belirli sayıda eşit parçaya bölmek.
Görev: AB parçasını 5 eşit parçaya bölün.
Çözüm:
P, kökeni A noktası olan ve AB doğrusu üzerinde yer almayan rastgele bir ışın olsun. P AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​​​A 5 üzerinde sırayla 5 eşit parça ayırdık.
A 5'i B'ye bağlarız ve A 4, A 3, A 2 ve A 1 üzerinden A 5 B'ye paralel çizgiler çizeriz. AB'yi sırasıyla B 4, B 3, B 2 ve B 1 noktalarında keserler. Bu noktalar AB parçasını 5 eşit parçaya böler. Aslında yamuktan BB 3 A 3 A 5'ten BB 4 = B 4 B 3 olduğunu görüyoruz. Aynı şekilde yamuktan B 4 B 2 A 2 A 4'ten B 4 B 3 = B 3 B 2 elde ederiz.

Yamuktan B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Daha sonra B 2 AA 2'den B 2 B 1 = B 1 A sonucu çıkar. Sonuç olarak şunu elde ederiz:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
AB parçasını başka sayıda eşit parçaya bölmek için, aynı sayıda eşit parçayı p ışınına yansıtmamız gerektiği açıktır. Daha sonra yukarıda anlattığımız şekilde devam edin.

“A Alın” video kursu matematikte Birleşik Devlet Sınavını 60-65 puanla başarıyla geçmek için gerekli tüm konuları içerir. Matematikte Profil Birleşik Devlet Sınavının 1-13 arasındaki tüm görevlerini tamamlayın. Ayrıca matematikte Temel Birleşik Devlet Sınavını geçmek için de uygundur. Birleşik Devlet Sınavını 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

10-11. Sınıflar ve öğretmenler için Birleşik Devlet Sınavına hazırlık kursu. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 1. Bölümünü (ilk 12 problem) ve Problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazla ve ne 100 puanlık bir öğrenci ne de beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.

Gerekli tüm teori. Hızlı yollar Birleşik Devlet Sınavının çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.

Kurs, her biri 2,5 saat olmak üzere 5 büyük konu içermektedir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.

Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Sözlü problemler ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans materyali, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor çözümler, faydalı kopyalar, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların net açıklamaları. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Birleşik Devlet Sınavının 2. Kısmının karmaşık problemlerini çözmek için bir temel.

Bazen okulda anlatılan konular ilk seferde her zaman anlaşılır olmayabilir. Bu özellikle matematik gibi bir konu için geçerlidir. Ancak bu bilim cebir ve geometri olmak üzere iki kısma ayrılmaya başladığında işler çok daha karmaşık hale gelir.

Her öğrenci iki yönden birinde yeteneğe sahip olabilir, ancak özellikle ilkokul Hem cebirin hem de geometrinin temelini anlamak önemlidir. Geometride ana konulardan birinin üçgenlerle ilgili bölüm olduğu düşünülmektedir.

Üçgenin orta çizgisi nasıl bulunur? Hadi çözelim.

Temel Kavramlar

Başlangıç ​​​​olarak, bir üçgenin orta çizgisinin nasıl bulunacağını anlamak için bunun ne olduğunu anlamak önemlidir.

Orta çizginin çizilmesinde herhangi bir kısıtlama yoktur: üçgen herhangi bir şey olabilir (ikizkenar, eşkenar, dikdörtgen). Ve orta çizgiye ilişkin tüm özellikler geçerli olacaktır.

Bir üçgenin orta çizgisi, iki kenarının orta noktalarını birleştiren bir segmenttir. Bu nedenle herhangi bir üçgende bu tür 3 çizgi bulunabilir.

Özellikler

Bir üçgenin orta çizgisinin nasıl bulunacağını bilmek için, hatırlanması gereken özelliklerini belirleyelim, aksi takdirde, elde edilen tüm verilerin kanıtlanması gerektiğinden, orta çizginin uzunluğunu belirleme ihtiyacı ile problemleri çözmek imkansız olacaktır. ve teoremler, aksiyomlar veya özelliklerle tartışıldı.

Dolayısıyla “ABC üçgeninin orta çizgisi nasıl bulunur?” sorusunu cevaplamak için üçgenin kenarlarından birini bilmek yeterlidir.

Bir örnek verelim

Resme bir bakın. Orta çizgi DE olan ABC üçgenini gösterir. Üçgenin AC tabanına paralel olduğuna dikkat edin. Bu nedenle, AC'nin değeri ne olursa olsun, ortalama DE çizgisi yarısı kadar büyük olacaktır. Örneğin, AC=20, DE=10 anlamına gelir, vb.

Bu basit yollarla bir üçgenin orta çizgisini nasıl bulacağınızı anlayabilirsiniz. Temel özelliklerini ve tanımını hatırlayın, o zaman anlamını bulmakta asla sorun yaşamayacaksınız.

Üçgenin orta çizgisi. Merhaba arkadaşlar! Bugün teorik materyal var, üçgenle bağlantılı. Sınav, orta hattının özelliğini kullanan bir grup görevi içerir. Ve sadece üçgenlerle ilgili problemlerde değil, aynı zamanda yamuklarla da ilgili. Bir tanesinde bu gerçekleri basitçe hatırlamayı önerdim, şimdi daha detaylı olarak...

Üçgenin orta çizgisi nedir ve özellikleri nelerdir?

Tanım.Üçgenin orta çizgisi, üçgenin kenarlarının orta noktalarını birleştiren bir segmenttir.

Üçgende üç orta çizginin olduğu açıktır. Onlara gösterelim:

Herhangi bir kanıt olmadan, muhtemelen oluşan dört üçgenin hepsinin eşit olduğunu fark etmişsinizdir. Bu doğru, ancak bunun hakkında daha sonra daha ayrıntılı olarak konuşacağız.

Teorem. Verilen iki kenarın orta noktalarını birleştiren üçgenin orta çizgisi üçüncü kenara paralel ve onun yarısına eşittir.

Kanıt:

1. BMN ve BAC üçgenlerine bakalım. Koşula göre BM=MA, BN=NC elde ederiz. Şunları yazabiliriz:

Bu nedenle üçgenler orantılı iki kenar ve aralarındaki açı bakımından benzerdir (benzerliğin ikinci işareti). Bundan ne sonuç çıkıyor? Ve ne:

MN||AC doğrularının paralelliğine dayanmaktadır.

2. Ayrıca üçgenlerin benzerliğinden şu sonuç çıkıyor:

Yani MN iki kat daha küçüktür. Kanıtlanmış!

Tipik bir problemi çözelim.

ABC üçgeninde M, N, K noktaları AB, BC, AC kenarlarının orta noktalarıdır. MN=12, MK=10, KN=8 ise ABC üçgeninin çevresini bulun.

Çözüm. Elbette öncelikle MNK üçgeninin (ve dolayısıyla ABC üçgeninin) varlığını kontrol etmelisiniz. İki küçük kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalı, 10+8>12 yaz. Gerçekleşecek, dolayısıyla üçgen var.

Bir taslak oluşturalım:

Böylece ABC üçgeninin çevresi 24+20+16=60 olur.

*Şimdi üç orta çizginin de oluşturulmasıyla elde edilen üçgenler hakkında daha fazla ayrıntı. Eşitlikleri kolayca kanıtlanır. Bakmak:

Üç tarafı da eşittir. Tabii burada başka işaretler de geçerli. Bunu anlıyoruz

Bu özellik sınavda yer alan görevlerde nasıl kullanılıyor? Özellikle stereometrideki sorunlara odaklanmak istiyorum. Üçgen prizmadan bahsettiğimiz türleri var.

Örneğin düzlemin tabanın kenarlarının orta noktalarından geçtiği ve tabanın üçüncü kenarına paralel olduğu söylenir. Prizmanın yüzey alanındaki, hacmindeki ve diğerlerindeki değişiklikler hakkında sorular soruluyor.

İşte burada. Yukarıda sunulan bilgileri bilerek ve anlayarak, bu düzlemin belirtilen prizmanın tabanından dörtte birini kestiğini hemen tespit edecek ve sorunu sözlü olarak çözeceksiniz. Bu tür görevlerle.

Hepsi bu! Herşey gönlünce olsun!

Makale materyalini indir

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.