Eng kichik o'rta chiziqni qanday topish mumkin. Uchburchakning o'rta chizig'ini qanday topish mumkin? Asosiy xususiyatlar, ta'riflar va usullar

\[(\Large(\matn(Uchburchaklarning oʻxshashligi)))\]

Ta'riflar

Ikki uchburchak o'xshash deyiladi, agar ularning burchaklari mos ravishda teng bo'lsa va bir uchburchakning tomonlari boshqasining o'xshash tomonlariga proportsional bo'lsa.
(tomonlari teng burchaklarga qarama-qarshi bo'lsa, o'xshash deb ataladi).

(O'xshash) uchburchaklarning o'xshashlik koeffitsienti bu uchburchaklarning o'xshash tomonlari nisbatiga teng sondir.

Ta'rif

Uchburchakning perimetri uning barcha tomonlari uzunliklarining yig'indisidir.

Teorema

Ikki o'xshash uchburchakning perimetrlari nisbati o'xshashlik koeffitsientiga teng.

Isbot

Tomonlari mos ravishda \(a,b,c\) va \(a_1, b_1, c_1\) bo'lgan \(ABC\) va \(A_1B_1C_1\) uchburchaklarni ko'rib chiqing (yuqoridagi rasmga qarang).

Keyin \(P_(ABC)=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot P_(A_1B_1C_1)\)

Teorema

Ikki o'xshash uchburchaklar maydonlarining nisbati o'xshashlik koeffitsientining kvadratiga teng.

Isbot

\(ABC\) va \(A_1B_1C_1\) uchburchaklari oʻxshash boʻlsin va \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1) = k\). Bu uchburchaklarning maydonlarini mos ravishda \(S\) va \(S_1\) harflari bilan belgilaymiz.

Chunki \(\burchak A = \burchak A_1\) , keyin \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)(burchaklari teng bo'lgan uchburchaklar maydonlarining nisbati teoremasi bo'yicha).

Chunki \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = k\), Bu \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\cdot\dfrac(AC)(A_1C_1) = k\cdot k = k^2\), bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsa edi.

\[(\Large(\text(Uchburchaklarning oʻxshashlik belgilari)))\]

Teorema (uchburchaklar o'xshashligining birinchi belgisi)

Agar bitta uchburchakning ikkita burchagi mos ravishda boshqa uchburchakning ikkita burchagiga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar o'xshashdir.

Isbot

\(ABC\) va \(A_1B_1C_1\) shunday uchburchaklar bo'lsinki, \(\burchak A = \burchak A_1\) , \(\burchak B = \burchak B_1\) . Keyin, uchburchak burchaklarining yig'indisi haqidagi teorema bo'yicha \(\burchak C = 180^\circ - \burchak A - \burchak B = 180^\circ - \burchak A_1 - \burchak B_1 = \burchak C_1\), ya'ni \(ABC\) uchburchakning burchaklari mos ravishda uchburchakning burchaklariga teng \(A_1B_1C_1\) .

\(\burchak A = \burchak A_1\) va \(\burchak B = \burchak B_1\) ekan, u holda \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\) Va \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot BC)(A_1B_1\cdot B_1C_1)\).

Bu tengliklardan shunday xulosa kelib chiqadi \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1)\).

Xuddi shunday, bu ham isbotlangan \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\)(tengliklardan foydalangan holda \(\burchak B = \burchak B_1\) , \(\burchak C = \burchak C_1\) ).

Natijada, uchburchakning tomonlari \(ABC\) uchburchakning o'xshash tomonlariga proportsionaldir \(A_1B_1C_1\), buni isbotlash kerak edi.

Teorema (uchburchaklar o'xshashligining ikkinchi mezoni)

Agar bir uchburchakning ikki tomoni boshqa uchburchakning ikki tomoniga proporsional bo'lsa va bu tomonlar orasidagi burchaklar teng bo'lsa, uchburchaklar o'xshash bo'ladi.

Isbot

\(ABC\) va \(A"B"C"\) ikkita uchburchakni ko'rib chiqing \(\dfrac(AB)(A"B")=\dfrac(AC)(A"C")\), \(\angle BAC = \angle A"\) Keling, \(ABC\) va \(A"B"C"\) uchburchaklar o'xshashligini isbotlaylik. Uchburchaklar o'xshashligining birinchi belgisini hisobga olgan holda, \(\burchak B = \burchak B"\) ekanligini ko'rsatish kifoya.

Uchburchakni ko'rib chiqing \(ABC""\) bilan \(\burchak 1 = \burchak A"\) , \(\burchak 2 = \burchak B"\) . Uchburchaklar \(ABC""\) va \(A"B"C"\) uchburchaklar o'xshashligining birinchi mezoniga ko'ra o'xshash, keyin \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC"")(A"C")\).

Boshqa tomondan, shart bo'yicha \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C")\). Oxirgi ikki tenglikdan kelib chiqadiki, \(AC = AC""\) .

\(ABC\) va \(ABC""\) uchburchaklar ikki tomonda va ular orasidagi burchakda teng, shuning uchun \(\burchak B = \burchak 2 = \burchak B"\).

Teorema (uchburchaklar o'xshashligining uchinchi belgisi)

Agar bitta uchburchakning uchta tomoni boshqa uchburchakning uch tomoniga proporsional bo'lsa, u holda uchburchaklar o'xshashdir.

Isbot

\(ABC\) va \(A"B"C"\) uchburchaklarning tomonlari proportsional bo'lsin: \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\). \(ABC\) va \(A"B"C"\) uchburchaklar o'xshashligini isbotlaylik.

Buning uchun uchburchaklar o'xshashligining ikkinchi mezonini hisobga olgan holda \(\ burchak BAC = \ burchak A"\) ekanligini isbotlash kifoya.

Uchburchakni ko'rib chiqing \(ABC""\) bilan \(\burchak 1 = \burchak A"\) , \(\burchak 2 = \burchak B"\) .

Uchburchaklar \(ABC""\) va \(A"B"C"\) uchburchaklar o'xshashligining birinchi mezoniga ko'ra o'xshashdir, shuning uchun \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(BC"")(B"C") = \dfrac(C""A)(C"A")\).

Tenglik va shartlarning oxirgi zanjiridan \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\) shundan kelib chiqadiki, \(BC = BC""\) , \(CA = C""A\) .

\(ABC\) va \(ABC""\) uchburchaklar uch tomondan teng, shuning uchun \(\BAC burchagi = \1-burchak = \A burchak"\).

\[(\Katta(\matn(Tales teoremasi)))\]

Teorema

Agar burchakning bir tomonida teng segmentlarni belgilab, ularning uchlari orqali parallel to'g'ri chiziqlar o'tkazsangiz, bu to'g'ri chiziqlar boshqa tomondan ham teng segmentlarni kesib tashlaydi.

Isbot

Avval isbot qilaylik lemma: Agar \(\uchburchak OBB_1\)da \(OB\) tomonining \(A\) oʻrtasidan \(a\parallel BB_1\) toʻgʻri chiziq oʻtkazilsa, u holda u \(OB_1\) tomonini ham kesib oʻtadi. o'rtasi.

\(B_1\) nuqta orqali \(l\parallel OB\) chizamiz. \(l\cap a=K\) bo'lsin. U holda \(ABB_1K\) parallelogramm, shuning uchun \(B_1K=AB=OA\) va \(\burchak A_1KB_1=\burchak ABB_1=\burchak OAA_1\); \(\burchak AA_1O=\burchak KA_1B_1\) vertikal kabi. Shunday qilib, ikkinchi belgiga ko'ra \(\uchburchak OAA_1=\uchburchak B_1KA_1 \O'ng tomon OA_1=A_1B_1\). Lemma isbotlangan.

Keling, teoremani isbotlashga o'tamiz. \(OA=AB=BC\) , \(a\parallel b\parallel c\) boʻlsin va biz \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\) ekanligini isbotlashimiz kerak.

Shunday qilib, ushbu lemma bo'yicha \(OA_1=A_1B_1\) . Keling, \(A_1B_1=B_1C_1\) ekanligini isbotlaylik. \(B_1\) nuqta orqali \(d\parallel OC\) chiziq chizamiz va \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\) . U holda \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) parallelogrammlar, shuning uchun \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\) . Shunday qilib, \(\burchak A_1B_1D_1=\burchak C_1B_1D_2\) vertikal kabi \(\burchak A_1D_1B_1=\burchak C_1D_2B_1\) xoch kabi yolg'on gapirish, va shuning uchun ikkinchi belgiga ko'ra \(\uchburchak A_1B_1D_1=\uchburchak C_1B_1D_2 \O'ng strelka A_1B_1=B_1C_1\).

Thales teoremasi

Parallel chiziqlar burchakning yon tomonlaridagi proportsional segmentlarni kesib tashlaydi.

Isbot

Parallel chiziqlar bo'lsin \(p\parallel q\parallel r\parallel s\) chiziqlardan birini segmentlarga ajratdi \(a, b, c, d\) . Keyin ikkinchi to'g'ri chiziq mos ravishda \(ka, kb, kc, kd\) segmentlarga bo'linishi kerak, bu erda \(k\) ma'lum bir son, segmentlarning bir xil proportsionallik koeffitsienti.

\(A_1\) nuqta orqali \(p\parallel OD\) chiziq chizamiz (\(ABB_2A_1\) parallelogramm, shuning uchun \(AB=A_1B_2\) ). Keyin \(\uchburchak OAA_1 \sim \uchburchak A_1B_1B_2\) ikki burchakda. Demak, \(\dfrac(OA)(A_1B_2)=\dfrac(OA_1)(A_1B_1) \O'ng strelka A_1B_1=kb\).

Xuddi shunday, \(B_1\) orqali to'g'ri chiziq o'tkazamiz. \(q\parallel OD \O'ng strelka \uchburchak OBB_1\sim \uchburchak B_1C_1C_2 \O'ng strelka B_1C_1=kc\) va hokazo.

\[(\Large(\matn(Uchburchakning oʻrta chizigʻi)))\]

Ta'rif

Uchburchakning o'rta chizig'i uchburchakning istalgan ikki tomonining o'rta nuqtalarini bog'laydigan segmentdir.

Teorema

Uchburchakning o'rta chizig'i uchinchi tomonga parallel va uning yarmiga teng.

Isbot

1) O'rta chiziqning asosga parallelligi yuqorida isbotlangan narsadan kelib chiqadi lemmalar.

2) \(MN=\dfrac12 AC\) ekanligini isbotlaylik.

\(N\) nuqta orqali \(AB\) ga parallel chiziq chizamiz. Bu chiziq \(AC\) tomonini \(K\) nuqtada kesishsin. U holda \(AMNK\) parallelogramm ( \(AM\parallel NK, MN\parallel AK\) oldingi bandga muvofiq). Shunday qilib, \(MN=AK\) .

Chunki \(NK\parallel AB\) va \(N\) \(BC\) ning o'rta nuqtasidir, keyin Thales teoremasi bo'yicha \(K\) \(AC\) ning o'rta nuqtasidir. Shuning uchun, \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\) .

Natija

Uchburchakning o'rta chizig'i undan \(\frac12\) koeffitsientli berilganga o'xshash uchburchakni kesib tashlaydi.

Faqat ikkita tomoni parallel bo'lgan to'rtburchak deyiladi trapezoid.

Trapetsiyaning parallel tomonlari deyiladi sabablar, va parallel bo'lmagan tomonlar deyiladi tomonlar. Agar tomonlar teng bo'lsa, unda bunday trapezoid isosselesdir. Poydevorlar orasidagi masofa trapetsiya balandligi deb ataladi.

O'rta chiziqli trapezoid

O'rta chiziq trapezoidning yon tomonlarini o'rta nuqtalarini bog'laydigan segmentdir. Trapetsiyaning o'rta chizig'i uning asoslariga parallel.

Teorema:

Agar bir tomonning o'rtasini kesib o'tuvchi to'g'ri chiziq trapetsiya asoslariga parallel bo'lsa, u holda trapetsiyaning ikkinchi tomonini ikkiga bo'ladi.

Teorema:

O'rta chiziqning uzunligi uning asoslari uzunliklarining o'rtacha arifmetik qiymatiga teng

MN o'rta chizig'i, AB va CD - asoslar, AD va BC - lateral tomonlar

MN = (AB + DC)/2

Teorema:

Trapetsiyaning oʻrta chizigʻining uzunligi uning asoslari uzunliklarining oʻrtacha arifmetik qiymatiga teng.

Asosiy vazifa: Trapetsiyaning oʻrta chizigʻi uchlari trapetsiya asoslari oʻrtasida joylashgan segmentni ikkiga boʻlishini isbotlang.

Uchburchakning o'rta chizig'i

Uchburchakning ikki tomonining oʻrta nuqtalarini tutashtiruvchi segmentga uchburchakning oʻrta chizigʻi deyiladi. U uchinchi tomonga parallel va uning uzunligi uchinchi tomon uzunligining yarmiga teng.
Teorema: Agar uchburchakning bir tomonining oʻrta nuqtasini kesib oʻtuvchi chiziq uchburchakning ikkinchi tomoniga parallel boʻlsa, u holda u uchinchi tomonini ikkiga boʻladi.

AM = MC va BN = NC =>

Uchburchak va trapezoidning o'rta chiziq xususiyatlarini qo'llash

Segmentni ma'lum miqdordagi teng qismlarga bo'lish.
Vazifa: AB segmentini 5 ta teng qismga bo'ling.
Yechim:
Boshi A nuqta bo‘lgan va AB to‘g‘rida yotmaydigan p tasodifiy nur bo‘lsin. Biz p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​A 5 ga ketma-ket 5 ta teng segmentni ajratamiz.
Biz A 5 ni B ga bog'laymiz va A 5 B ga parallel bo'lgan A 4, A 3, A 2 va A 1 orqali shunday chiziqlar o'tkazamiz. Ular AB ni mos ravishda B 4, B 3, B 2 va B 1 nuqtalarida kesishadi. Bu nuqtalar AB segmentini teng 5 qismga ajratadi. Darhaqiqat, BB 3 A 3 A 5 trapesiyadan biz BB 4 = B 4 B 3 ekanligini ko'ramiz. Xuddi shunday B 4 B 2 A 2 A 4 trapesiyadan B 4 B 3 = B 3 B 2 ni olamiz.

Trapetsiyadan B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1 bo'lsa.
U holda B 2 AA 2 dan B 2 B 1 = B 1 A kelib chiqadi. Xulosa qilib shuni olamiz:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Ko'rinib turibdiki, AB segmentini boshqa teng qismlarga bo'lish uchun biz bir xil sonli teng segmentlarni p nuriga proyeksiya qilishimiz kerak. Va keyin yuqorida tavsiflangan tarzda davom eting.

"A olish" video kursi matematika bo'yicha Yagona davlat imtihonini 60-65 ball bilan muvaffaqiyatli topshirish uchun zarur bo'lgan barcha mavzularni o'z ichiga oladi. Matematika bo'yicha yagona davlat imtihonining 1-13-sonli barcha topshiriqlarini to'liq bajaring. Matematika bo'yicha asosiy yagona davlat imtihonini topshirish uchun ham javob beradi. Agar siz Yagona Davlat imtihonini 90-100 ball bilan topshirmoqchi bo'lsangiz, 1-qismni 30 daqiqada va xatosiz hal qilishingiz kerak!

10-11-sinflar uchun, shuningdek, o'qituvchilar uchun yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik kursi. Matematika bo'yicha yagona davlat imtihonining 1-qismini (birinchi 12 ta masala) va 13-muammoni (trigonometriya) hal qilish uchun kerak bo'lgan hamma narsa. Va bu Yagona davlat imtihonida 70 balldan oshadi va na 100 ball to'plagan talaba, na gumanitar fanlar talabasi ularsiz qila olmaydi.

Barcha kerakli nazariya. Tezkor usullar Yagona davlat imtihonining echimlari, tuzoqlari va sirlari. FIPI vazifalar bankining 1-qismining barcha joriy vazifalari tahlil qilindi. Kurs 2018 yilgi Yagona davlat imtihonining talablariga to'liq javob beradi.

Kurs har biri 2,5 soatdan iborat 5 ta katta mavzuni o'z ichiga oladi. Har bir mavzu noldan sodda va tushunarli tarzda berilgan.

Yuzlab yagona davlat imtihon topshiriqlari. So'z muammolari va ehtimollar nazariyasi. Muammolarni hal qilish uchun oddiy va eslab qolish oson algoritmlar. Geometriya. Yagona davlat imtihonining barcha turlarining nazariyasi, ma'lumotnomasi, tahlili. Stereometriya. Ayyor echimlar, foydali varaqlar, fazoviy tasavvurni rivojlantirish. Trigonometriya noldan muammoga 13. Tiklash o'rniga tushunish. Murakkab tushunchalarning aniq tushuntirishlari. Algebra. Ildizlar, darajalar va logarifmlar, funksiya va hosila. Yagona davlat imtihonining 2-qismining murakkab muammolarini hal qilish uchun asos.

Ba'zan maktabda tushuntirilgan mavzular birinchi marta har doim ham aniq bo'lmasligi mumkin. Bu, ayniqsa, matematika kabi fanlar uchun to'g'ri keladi. Ammo bu fan ikki qismga: algebra va geometriyaga bo'linishni boshlaganda hamma narsa ancha murakkablashadi.

Har bir talaba ikkita yo'nalishdan birida qobiliyatga ega bo'lishi mumkin, lekin ayniqsa boshlang'ich maktab Ham algebra, ham geometriya asoslarini tushunish muhimdir. Geometriyada asosiy mavzulardan biri uchburchaklar bo'limi hisoblanadi.

Uchburchakning o'rta chizig'ini qanday topish mumkin? Keling, buni aniqlaylik.

Asosiy tushunchalar

Boshlash uchun, uchburchakning o'rta chizig'ini qanday topishni aniqlash uchun uning nima ekanligini tushunish muhimdir.

O'rta chiziqni chizishda hech qanday cheklovlar yo'q: uchburchak har qanday bo'lishi mumkin (izoseller, teng qirrali, to'rtburchaklar). Va o'rta chiziqqa tegishli barcha xususiyatlar kuchga kiradi.

Uchburchakning o'rta chizig'i uning 2 tomonining o'rta nuqtalarini bog'laydigan segmentdir. Shuning uchun har qanday uchburchakda 3 ta shunday chiziq bo'lishi mumkin.

Xususiyatlari

Uchburchakning o'rta chizig'ini qanday topishni bilish uchun uning esda tutilishi kerak bo'lgan xususiyatlarini belgilaylik, aks holda ularsiz o'rta chiziq uzunligini belgilash zarurati bilan bog'liq muammolarni hal qilish mumkin bo'lmaydi, chunki olingan barcha ma'lumotlar asoslanishi kerak. va teoremalar, aksiomalar yoki xususiyatlar bilan bahslashdi.

Shunday qilib, "ABC uchburchakning o'rta chizig'ini qanday topish mumkin?" Degan savolga javob berish uchun uchburchakning tomonlaridan birini bilish kifoya.

Keling, misol keltiraylik

Rasmga qarang. U o'rta chiziqli DE bilan ABC uchburchagini ko'rsatadi. E'tibor bering, u uchburchakda AC asosiga parallel. Shuning uchun, AC qiymati qanday bo'lishidan qat'i nazar, o'rtacha DE chizig'i yarmi katta bo'ladi. Masalan, AC=20 DE=10 va hokazo degan ma’noni anglatadi.

Ushbu oddiy usullarda siz uchburchakning o'rta chizig'ini qanday topishni tushunishingiz mumkin. Uning asosiy xususiyatlarini va ta'rifini eslab qoling, shunda siz uning ma'nosini topishda hech qachon muammoga duch kelmaysiz.

Uchburchakning o'rta chizig'i. Salom do'stlar! Bugungi kunda nazariy material mavjud, u uchburchak bilan bog'liq. Imtihon o'rta chiziq xususiyatidan foydalanadigan bir qator vazifalarni o'z ichiga oladi. Va nafaqat uchburchaklar bilan bog'liq muammolarda, balki trapezoidlar bilan ham. Men bu faktlarni eslab qolishni taklif qilgan bittasi bor edi, endi batafsilroq ...

Uchburchakning o'rta chizig'i nima va uning xususiyatlari qanday?

Ta'rif. Uchburchakning o'rta chizig'i - bu uchburchak tomonlarining o'rta nuqtalarini bog'laydigan segment.

Uchburchakda uchta o'rta chiziq borligi aniq. Keling, ularga ko'rsatamiz:

Hech qanday dalilsiz, siz hosil bo'lgan to'rtta uchburchak teng ekanligini allaqachon payqagandirsiz. Bu haqiqat, lekin biz bu haqda keyinroq batafsilroq gaplashamiz.

Teorema. Berilgan ikki tomonning oʻrta nuqtalarini bogʻlovchi uchburchakning oʻrta chizigʻi uchinchi tomoniga parallel va uning yarmiga teng.

Isbot:

1. BMN va BAC uchburchaklarini ko'rib chiqamiz. Shartga ko'ra, bizda BM=MA, BN=NC bor. Biz yozishimiz mumkin:

Shuning uchun uchburchaklar ikkita proportsional tomonda va ular orasidagi burchakda o'xshashdir (o'xshashlikning ikkinchi belgisi). Bundan nima kelib chiqadi? Va nima:

MN||AC chiziqlarning parallelligi asosida.

2. Shuningdek, uchburchaklarning o'xshashligidan kelib chiqadiki

Ya'ni, MN ikki marta kichikroq. Tasdiqlangan!

Keling, odatiy muammoni hal qilaylik.

ABC uchburchakda M, N, K nuqtalar AB, BC, AC tomonlarning oʻrta nuqtalaridir. MN=12, MK=10, KN=8 bo'lsa, ABC uchburchakning perimetrini toping.

Yechim. Albatta, birinchi navbatda siz MNK uchburchagi mavjudligini (va shuning uchun ABC uchburchagi mavjudligini) tekshirishingiz kerak. Ikki kichik tomonning yig'indisi uchinchi tomondan katta bo'lishi kerak, 10+8>12 deb yozing. Bajariladi, shuning uchun uchburchak mavjud.

Keling, eskizni tuzamiz:

Shunday qilib, ABC uchburchakning perimetri 24+20+16=60 ga teng.

* Endi barcha uchta o'rta chiziqni qurish orqali olingan uchburchaklar haqida batafsilroq. Ularning tengligi osongina isbotlanadi. Qarang:

Ular uch tomondan teng. Albatta, bu erda boshqa belgilar ham qo'llaniladi. Biz buni tushunamiz

Bu xususiyat imtihonga kiritilgan vazifalarda qanday ishlatiladi? Men, ayniqsa, stereometriya muammolariga e'tibor qaratmoqchiman. Biz uchburchak prizma haqida gapiradigan turlar mavjud.

Masalan, tekislik asosning yon tomonlarining o'rta nuqtalaridan o'tib, poydevorning uchinchi chetiga parallel ekanligi aytiladi. Prizmaning sirt maydoni, uning hajmi va boshqalardagi o'zgarishlar haqida savollar tug'iladi.

Demak, bu yerda. Yuqorida keltirilgan ma'lumotlarni bilish va tushunish, siz darhol ushbu tekislik belgilangan prizma poydevoridan to'rtdan bir qismini kesib tashlashini aniqlaysiz va muammoni og'zaki hal qilasiz. Bunday vazifalar bilan.

Ana xolos! Barcha ezgu tilaklarni tilayman!

Maqola materialini yuklab oling

Hurmat bilan, Aleksandr Krutitskix.